DifYr
.pdf
Дифференцируя уравнение (1.82) по C: |
||
@ (x; y; C) |
= - 3(x + C)2 = 0 |
|
@C |
|
|
и исключая C из соотношений: |
|
|
(x; y; C) = y - (x + C)3 = 0; |
||
@ (x; y; C) |
= - 3(x + C)2 |
= 0; |
@C |
|
|
получаем кривую y = 0. |
|
|
|
First Prev Next |
Last Go Back Full Screen Close Quit |
Так как в точках этой кривой |
@ (x;y;C) |
= 1 6= 0, за- |
@y |
||
ключаем, что y = 0 – огибающая семейства интеграль- |
||
ных кривых, то есть особая интегральная кривая урав- |
||
нения (1.81). |
|
|
First Prev Next Last |
Go Back Full Screen Close Quit |
|
Ответ: y = (x + C)3; C 2 R; есть общий интеграл урав- |
|||||
нения (1.81) в верхней или нижней полуплоскости. |
|||||
y = 0 – особая интегральная кривая уравнения (1.81). |
|||||
y0 = 3 3 y2 |
C 3; C |
2 R |
; |
есть общий интеграл урав- |
|
y |
x |
||||
Ответ:p |
= ( + |
) |
|
||
нения (1.81) в верхней или нижней полуплоскости. |
|||||
y = 0 – особая интегральная кривая уравнения (1.81). |
|||||
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit |
|
1.15.Уравнения первого порядка, не разрешенные
относительно производной
Пусть задано дифференциальное уравнение |
|
F(x; y; y0) = 0; |
(1.83) |
где F : A -! R; A R3, непрерывна на A. |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Обозначим через D R2, множество точек (x0; y0) 2 R2, для которых уравнение F(x0; y0; y0) = 0 имеет хотя одно действительное решение.
Множество D R2 называют областью определения уравнения (1.83).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Уравнение (1.83) неявно задает в каждой точке (x; y) 2 D плоскости xOy одно или несколько (или даже, может
быть, бесчисленное множество) действительных значений y0.
Если построить в каждой такой точке отрезки с угло-
выми коэффициентами, равными значениям y0 в этой точке, то получится поле направлений, определяемое уравнением (1.83).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решить уравнение (1.83) – значит описать всё множество интегральных кривых расположенных в области D, то есть геометрически это значит найти все кривые, касательная к каждой из которых в каждой точке об-
ласти D совпадает с одним из направлений поля в этой точке.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Предположим, что в области D плоскости xOy уравнение (1.83) неявно задает n различных действительных значений y0:
y0 = f1(x; y); y0 = f2(x; y); : : : ; y0 = fn(x; y): |
(1.84) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
В этом случае поле направлений уравнения (1.83) в области D можно рассматривать как наложение n полей направлений уравнений (1.84), разрешенных относительно производной.
Все интегральные кривые уравнений (1.84) являются интегральными кривыми уравнения (1.83) в области D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 22. Решить уравнение |
|
y02 - 2xy0 = 0: |
(1.85) |
Решение. Уравнение (1.85) не разрешено относительно производной. Разрешая его, получим:
y0 = 0; |
(1.86) |
y0 = 2x: |
(1.87) |
Область определения уравнения (1.85) всё пространство
R2.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit