DifYr

Пример 12. Решить дифференциальное уравнение

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Так как f(x; y) = x - y, то область определения уравнения (1.54) есть domf = R2:

Определим тип уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тип уравнения (1.54) – линейное неоднородное уравнение: P(x) = 1; Q(x) = x.

Решаем сначала линейное однородное уравнение

y0 + y = 0;

соответствующее данному уравнению:

dyy = - dx; ln jyj = -x + ln jCj; y = Ce-x:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Ищем общее решение данного уравнения в виде:

y = C(x)e-x:

Тогда y0 = C0(x)e-x-C(x)e-x. Подставляя y и y0 в уравнение y0 + y = x, после приведения подобных членов,

получим:

C0(x) = xex;

откуда C(x) = (x - 1)ex + C, где C – произвольная постоянная.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Общее решение данного уравнения в R2 имеет вид:

y = Ce-x + x - 1:

y0 = x - y

Ответ: y = Ce-x + x - 1; C 2 R есть общее решение уравнения (1.54) в R2.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 13. Решить дифференциальное уравнение

y0 = y - x

Ответ: y = Cex + x + 1; C 2 R есть общее решение урав- нения (1.55) в R2.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 14. Решить дифференциальное уравнение

y0 = x + y

Ответ: y = Cex - x - 1; C 2 R есть общее решение урав- нения (1.56) в R2.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 15. Решить уравнение (1.7) при E(t) = A sin !t.

Решение.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.10.Уравнения Бернулли

где – любое действительное, отличное от нуля и от единицы число, называется уравнением Бернулли.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. При = 0 уравнение (1.57) имеет вид y0 + p(x) y = q(x) – линейное неоднородное;

при = 1 уравнение (1.57) имеет вид

y0 + p(x) y = q(x) y – линейное однородное.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit