DifYr

Точка (x0; y0) 2 D, в которой

M(x0; y0) = N(x0; y0) = 0;

называется особой точкой уравнения (1.9).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Отметим отличие форм записи (1.8) и (1.9) дифференциального уравнения разрешённого относительно производной:

форма записи (1.8) подчёркивает, что y есть функция переменной x;

в уравнение записанное в дифференциальной форме (1.9) переменные x и y входят равноправно.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.3.Геометрический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. Интегральная

кривая

Дифференциальному уравнению первого порядка

где M; N : D -! R, а D R2 – область определения

дифференциального уравнения, можно дать геометрическое толкование.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

~

Обозначим через F = (P; Q) векторное поле на D, заданное функциями P(x; y) = - N(x; y); Q(x; y) = M(x; y)

для всех (x; y) 2 D.

Фиксируем произвольную точку (x0; y0) 2 D. Пусть дифференцируемая функция

' : (a; b) -! R; x0 2 (a; b);

есть решение дифференциального уравнения (1.10) на интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

~ 0

Направляющий вектор k = (1; ' (x)) касательной graf ' в точке (x; y) 2 graf '; x 2 (a; b); коллинеарен вектору

~ 2

F = (P(x; '(x)); Q(x; '(x)) для всех x (a; b), то есть график решения дифференциального уравнения (1.10) на интервале (a; b) есть часть векторной линии поля

~ 2

F = (P; Q), проходящей через точку (x0; y0) D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Таким образом, дифференциальное уравнение (1.10)

~

задаёт векторное поле F = (P; Q) в области D, а решения дифференциального уравнения (1.10) на интервалах (a; b) являются частями векторных линий этого поля.

Векторные линии векторного поля заданного дифференциальным уравнением (1.10) называют интегральными кривыми дифференциального уравнения (1.10).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, график каждого решения дифференциального уравнения (1.10) на интервале (a; b) является частью интегральной кривой поля заданного дифференциальным уравнением (1.10), проходящей через точку

(x0; y0) 2 D; x0 2 (a; b).

Но не всякая интегральная кривая поля заданного дифференциальным уравнением (1.10), проходящая через точку (x0; y0) 2 D; x0 2 (a; b), есть график решения дифференциального уравнения (1.10) на интервале

(a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Интегральные кривые дифференциального уравнения (1.10) расположены в области определения этого уравнения. Поэтому понятие интегральной кривой дифференциального уравнения (1.10) более подходит для описания множества решений дифференциального уравнения (1.10).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Возможны следующие формы описания векторных ли-

~

ний векторного поля F = (P; Q):

векторная линия есть график функции ' : (a; b) -!

R;

векторная линия определяется соотношением

(x; y) = 0; (x; y) 2 D;

векторная линия задаются параметрически

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Задача решения дифференциального уравнения

где M; N : D -! R; D R2, может быть теперь истолкована так:

описать всё множество гладких кривых, называемых интегральными кривыми уравнения (1.11), направление касательных к которым в каждой точке области D совпадает с направлением векторного поля

~

F = (-N; M);

задаваемого дифференциальным уравнением (1.11).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit