DifYr

Пользуясь зависимостью dy = y0dx = pdx, учитывая (1.95), будем иметь

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Мы получили уравнение первого порядка разрешённое относительно производной; если мы найдём его общее решение в виде

v = (u; C);

то, заменяя v в двух первых уравнениях (1.96) на (u; C)

получим:

x = ' (u; (u; C)) ; y = (u; (u; C)) ;

общее решение уравнения (1.93) в параметрической форме (u – параметр, C – произвольное постоянное).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Метод введения параметра обыкновенно применяется в случае, если уравнение (1.93) легко разрешается относительно x или y. Тогда в представлении (1.96) за параметры естественно взять y и p или x и p.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.15.2.Уравнения разрешённые относительно x

Пусть уравнение (1.93) разрешено относительно x:

Тогда, взяв за параметры y и y0 = p и используя зависимость dy = y0dx, получим

или

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решая уравнение (1.99), получим (y; p; C) = 0.

Это уравнение совместно с x = f(y; p) описывают всю совокупность интегральных кривых уравнения (1.98) в параметрической форме.

Замечание. Уравнение (1.99) может быть получено из уравнения (1.98) следующим образом:

заменяем в уравнении (1.98) y0 на p;

дифференцируем полученное равенство по y.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Уравнение (1.100) легко разрешимо относительно x:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Дифференцируя равенство (1.102) по y, получим

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Уравнение (1.104) эквивалентно двум

и

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решая уравнения (1.105) и (1.106), получим все решения уравнения (1.104):

так как в уравнении (1.102) y p > 0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit