2.2.Уравнения высшего порядка, допускающие
понижение порядка
Одним из основных методов, применяемых при интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков, является понижение порядка уравнения, то есть сведение уравнения путем замены переменных к друго-
му уравнению, имеющему порядок ниже данного.
Следует заметить, что понижение порядка возможно далеко не для всякого уравнения, в связи с чем пред-
ставляют интерес некоторые типы неполных диффе-
ренциальных уравнений, допускающих понижение порядка:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
I. y(n) = f(x) – простейшее; |
|
|
F x; y(k); y(k+1); : : : ; y(n) |
= 0 |
II. |
|
|
|
(k-1)– уравнение не содер- |
|
жащее явно y; y0; y00; : : : ; y |
; |
|
|
|
|
|
III. F |
y; y0; y00; : : : ; y(n) |
= 0 – уравнение не содержащее |
явно независимую переменную x.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
2.3.Уравнения вида y(n) = f(x)
Пусть задано уравнение |
|
y(n) = f(x); |
(2.7) |
где функция f : (a; b) -! R непрерывна на интерва-
ле (a; b). Тогда из уравнения (2.7) последовательными интеграциями получаем:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
y(n) = f(x);
Z
y(n-1) = f(x) dx + C1 = F1(x) + C1:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
y(n) = f(x);
Z
y(n-1) = f(x) dx + C1 = F1(x) + C1;
Z
y(n-2) = F1(x) dx + C1x + C2 = F2(x) + C1x + C2:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
y(n)
y(n-1)
y(n-2)
y(n-3)
=f(x);
Z
=f(x) dx + C1 = F1(x) + C1;
Z
=F1(x) dx + C1x + C2 = F2(x) + C1x + C2;
Z x2
= F2(x) dx + C1 2 + C2x + C3 =
x2
= F3(x) + C1 2 + C2x + C3:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
y(n) = f(x);
Z
y(n-1) = f(x) dx + C1 = F1(x) + C1;
Z
y(n-2) = F1(x) dx + C1x + C2 = F2(x) + C1x + C2;
y(n-3) = Z F2(x) dx + C1x2 + C2x + C3 = 2
x2
= F3(x) + C1 2 + C2x + C3;
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
y(n) = f(x);
Z
y(n-1) = f(x) dx + C1 = F1(x) + C1;
Z
y(n-2) = F1(x) dx + C1x + C2 = F2(x) + C1x + C2;
y(n-3) = Z F2(x) dx + C1x2 + C2x + C3 = 2
x2
= F3(x) + C1 2 + C2x + C3;
;
y0 |
|
xn-2 |
|
xn-3 |
= Fn-1(x) + C1 |
|
+ C2 |
|
+ + Cn-2x + Cn-1: |
(n - 2)! |
(n - 3)! |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
и, наконец,
y = Z |
|
xn-1 |
|
xn-2 |
Fn-1(x) dx+C1 |
|
+C2 |
|
+ +Cn-1x+Cn = |
(n - 1)! |
(n - 2)! |
|
xn-1 |
xn-2 |
= Fn(x) + C1(n - 1)! + C2(n - 2)! + + Cn-1x + Cn: (2.8)
Покажем, что формула (2.8) даёт общее решение урав-
нения (2.7) в области |
|
x 2 (a; b); y 2 R : |
D = (x; y) 2 R2 |
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Очевидно, что при любых C1; C2; : : : ; Cn 2 R функция
y = Fn(x) + C |
xn-1 |
|
+ C |
xn-2 |
+ |
|
+ C |
x + C |
; (2.9) |
|
|
1(n - 1)! |
2(n - 2)! |
n-1 |
n |
|
определяемая формулой (2.9), является решением уравнения (2.7) на интервале (a; b). Выбирая точку
(x0; y0) и C1; C2; C3; : : : ; Cn-1 2 R произвольно, а
Cn |
= y0 |
- |
"Fn(x0) + C1 |
xn-1 |
+ C2 |
xn-2 |
-1x0# |
; |
(n - 1)! |
(n - 2)! + + Cn |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
получим решение (2.9) уравнения (2.7), проходящее через точку (x0; y0) 2 D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
