DifYr

Однако даже для линейного однородного уравнения второго порядка с непрерывными и переменными на ин-

тервале (a; b) коэффициентами эта задача в общем виде не решается, то есть не удается получить ни одной фундаментальной системы решений на интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.12. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения

второго порядка

Теорема 6. Пусть известно одно ненулевое решение y = y1 на интервале (a; b) уравнения

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть, далее, y = y2 любое решение уравнения

Тогда y1; y2 – фундаментальная система решений на интервале (a; b) уравнения (2.32).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Введем новую неизвестную функ-

цию u, положив u(x) := y(x) ; x 2 (a; b). Тогда

y1(x)

y = uy1;

y0 = u0y1 + uy10;

y00 = u00y1 + 2u0y10 + uy100:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Подставляя y, y0 и y00 в уравнение (2.32), получим:

u00y1 + 2u0y10 + uy100 + p1(x) u0y1 + uy10 + p2(x)uy1 =

=u00y1 + u0 2y10 + p1(x)y1 +

+u y100 + p1(x)y10 + p2(x)y1 = 0:

Так как y1 – решение уравнения (2.32), то

y100 + p1(x)y10 + p2(x)y1 0 на интервале (a; b);

а значит, уравнение (2.32) в новых переменных имеет вид:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Понижая порядок уравнения (2.34), положив u0 := z, где z – новая искомая функция, получим уравнение с разделяющимися переменными:

z0y1 + z 2y10 + p1(x)y1 = 0:

Разделяя переменные, получим:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть y = y2 решение уравнения (2.38), а, следовательно, и уравнения (2.32), на интервале (a; b).

Так как определитель Вронского для этих решений

линейно независимы на интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.13. Линейные однородные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) + + an-1y0 + any = 0;

(2.39)

где a1; a2; : : : ; an-1; an 2 R, называется линейным

однородным уравнением с действительными коэффициентами.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Используя линейный дифференциальный оператор, уравнение (2.39) запишем в виде:

L[y] = 0;

где L[y] = y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+ +an-1y0+any.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit