DifYr

Всякое линейное однородное дифференциальное уравнение имеет так называемое тривиальное решение, то есть решение, тождественно равное нулю:

y(x) 0

на интервале (a; b). Это решение также удовлетворяет начальным условиям x0; |0; 0;{z: : : ; 0}.

n- раз

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

По теореме 2 (Кош´и) существования и единственности решения для уравнения

L[y] = 0;

с непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами, задание системы начальных данных однозначно определяет решение, то есть решение y~ должно совпадать с решением, тождественно равным нулю:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как среди чисел ~1; ~2; : : : ; ~n [~1; ~2; : : : ; ~n – ненулевое решение системы (2.26)] имеются отличные

от нуля, то из тождества (2.27), по определению 8, следует, что функции y1; y2; : : : ; yn линейно зависимы на интервале (a; b), что противоречит условию теоремы.

Итак, определитель Вронского, составленный для n линейно независимых на интервале (a; b) решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка L[y] = 0 с непрерывными на (a; b) коэффициентами, ни в одной точке интервала (a; b) не равен нулю.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из доказанных свойств определителя Вронского следует, что если y1; y2; : : : ; yn определенные на интер-

вале (a; b) решения линейного однородного уравнения L[y] = 0 с непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами, то составленный для них определитель Вронского либо тождественно равен нулю на интервале (a; b) [решения линейно зависимы], либо не равен нулю ни в одной точке интервала (a; b) [решения линейно независимы].

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.11.Структура общего решения линейного

однородного уравнения

Покажем, что размерность линейного пространства решений линейного однородного уравнения n-го порядка

с непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами совпадает с порядком этого уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 9. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a; b) называется всякая система из n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из теорем 3 и 4 следует, что, для того чтобы система решений y1; y2; : : : ; yn уравнения

y(n) + p1(x)y(n-1) + p2(x)y(n-2) + +

+pn-1(x)y0 + pn(x)y = 0 (2.28)

снепрерывны на (a; b) коэффициентами p1; p2; : : : ; pn : (a; b) -! R; (a; b) R; была фундаментальной на интервале (a; b), необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 5. Если y1; y2; : : : ; yn – фундаментальная система решений уравнения (2.28) на интервале (a; b), то линейная комбинация этих решений

где C1; C2; : : : ; Cn – произвольные постоянные, является общим решением уравнения (2.28) в области

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Так как y1; y2; : : : ; yn – решения уравнения (2.28) на интервале (a; b), то при любых значениях постоянных C1; C2; : : : ; Cn функция

y = C1y1 + C2y2 + + Cnyn

также является решением уравнения (2.28) на интервале (a; b).

Фиксируем произвольную точку

x0; y0; y00; y000; : : : ; y(0n-1) 2 B:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотрим вспомогательную систему из n ли-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit