DifYr

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:

y(n) + p1(x)y(n-1) + p2(x)y(n-2) + +

+ pn-1(x)y0 + pn(x)y = q(x); (2.46)

где функции p1; p2; : : : ; pn; q : (a; b) -! R; (a; b) R;

непрерывны на некотором (конечном или бесконечном) интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Используя дифференциальный оператор

L[y] := y(n) + p1(x)y(n-1) + p2(x)y(n-2) + +

+ pn-1(x)y0 + pn(x)y;

можно записать уравнение (2.46) сокращенно в виде:

L[y] = q(x):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть y1; y2; : : : ; yn – фундаментальная система решений соответствующего линейного однородного уравнения

на интервале (a,b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Общее решение уравнения (2.47) в области

запишется, в силу теоремы 5, в виде:

y = C1y1 + C2y2 + + Cnyn;

или, короче, в виде:

Xn

k=1

где C1; C2; : : : ; Cn – произвольные постоянные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

ИДЕЯ МЕТОДА ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ

Будем искать решение линейного неоднородного уравнения (2.46) в виде:

Xn

где C1; C2; : : : ; Cn – неизвестные дифференцируемые на (a; b) функции.

[Сравните выражения (2.48) и (2.49)].

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Подберем неизвестные функции

C1; C2; : : : ; Cn : (a; b) -! R

таким образом, чтобы выражение (2.49) являлось решением уравнения (2.46) на интервале (a; b), то есть

k=1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Остальные (n - 1) условий, необходимые для определения n неизвестных функций, можно задавать произвольно, лишь бы полученная система оказалась совместной. Эти дополнительные условия будем подбирать постепенно таким образом, чтобы тождество (2.50), получающееся в результате подстановки функции y =

Pn Ck(x)yk и всех ее производных до n-го порядка

k=1

включительно в уравнение (2.46), имело наиболее простой вид.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если

Xn

y = Ck(x)yk;

k=1

то

y0 = Xn Ck0 (x)yk + Xn Ck(x)yk0 :

k=1 k=1

В качестве первого из дополнительных условий возьмем уравнение

Xn Ck0 (x)yk = 0:

k=1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

При этом для y0 получим выражение

k=1

которое имеет такой же вид, как и в случае постоянных

Ck; k = 1; 2; : : : ; n.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Дифференцируя соотношение (2.51) по x получим:

В качестве второго дополнительного условия берем уравнение

Xn Ck0 (x)yk0 = 0:

k=1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit