При этом для y00 получим выражение
|
n |
|
|
X |
|
y00 |
= Ck(x)yk00; |
(2.52) |
k=1
которое имеет такой же вид, как и в случае постоянных
Ck; k = 1; 2; : : : ; n.
И так далее.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Последнее (n - 1)-е дополнительное условие налагается при (n - 1)-м шаге:
|
n |
|
n |
|
X |
Ck0 (x)yk(n-2) |
X |
y(n-1) |
= |
+ Ck(x)yk(n-1): |
|
k=1 |
|
k=1 |
Оно имеет вид:
Xn Ck0 (x)y(kn-2) = 0: k=1
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
При этом условии для y(n-1) получим выражение
|
n |
|
|
y(n-1) |
X |
|
(2.53) |
= C (x)y(n-1); |
|
k |
k |
|
k=1
которое имеет такой же вид, как и в случае постоянных
Ck; k = 1; 2; : : : ; n.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Дифференцируя соотношение (2.53) по x, находим:
|
n |
|
n |
|
|
|
|
X |
|
X |
Ck(x)yk(n): |
y(n) = |
Ck0 (x)yk(n-1) + |
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
|
Подставив выражение y = |
n |
C (x)y |
k |
и все его най- |
|
|
k=1 |
k |
|
|
денные производные в левую часть |
уравнения (2.46), |
получим: |
|
P |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
L |
2 |
Ck(x)yk3 = |
n |
Ck0 (x)yk(n-1) + Ck(x)yk(n)+ |
|
n |
5 |
n |
|
4X |
X |
X |
|
k=1 |
|
k=1 |
k=1 |
n |
n |
+ p1(x) Ck(x)yk(n-1) + + pn(x) |
k=1 |
k=1 |
X |
X |
n |
n |
= X Ck0 (x)y(kn-1)+X Ck(x) hy(kn) + p1(x)y(kn-1)
Ck(x)yk =
i
+ + pn(x)yk =
k=1 |
k=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
n |
|
|
X |
|
0 |
(x)y(n-1) |
X |
X |
0 |
(x)y(n-1); |
= |
C |
+ Ck(x)L [yk] = |
C |
|
|
k |
k |
|
|
k |
k |
k=1 |
|
|
|
k=1 |
k=1 |
|
|
так как
L [y1] = L [y2] = = L [yn] = 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тогда тождество (2.50) [n-е условие для определения неизвестных функций C1; C2; : : : ; Cn] при этом запишет-
ся в виде:
Xn Ck0 (x)y(kn-1) = q(x):
k=1
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Таким образом, для того чтобы выражение
Xn
y = Ck(x)yk
k=1
было решением уравнения (2.46), достаточно, чтобы функции C1; C2; : : : ; Cn удовлетворяли, выделенным в тексте синим цветом, условиям:
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
Ck0 (x)yk = 0; |
|
|
Ck0 (x)yk0 = 0; : : : |
|
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
X |
0 |
|
(x)y(n-2) |
X |
0 |
(x)y(n-1) |
|
: : : ; C |
|
= 0; C |
= q(x): |
|
k |
|
k |
|
k |
k |
|
k=1 |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Эти условия представляют собой линейную неоднородную систему алгебраических уравнений с n неизвест-
ными функциями C10; C20; : : : ; Cn0 .
Запишем эту систему в ¾развернутом виде¿:
8 |
y1(x)C10 |
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
1 |
1 |
> |
y10 |
(x)C10 |
> |
|
|
> |
|
|
< |
|
|
> y00(x)C0 |
> |
1 |
1 |
> |
> |
(n-1) |
> |
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
: |
|
(x)C0 |
>y |
|
+y2(x)C20
+y20(x)C20
+y200(x)C20
+y(2n-1)(x)C20
+ |
|
+ |
yn(x)C0 |
|
|
|
n |
+ |
|
+ |
y0 |
(x)C0 |
|
|
n |
n |
+ |
|
+ |
y00(x)C0 |
|
|
n |
n |
|
|
+ |
|
+ yn(n-1)(x)C0 |
|
|
|
n |
=0;
=0;
=0;
= q(x):
(2.54)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определителем основной матрицы системы (2.54) является определитель Вронского W(x). Так как решения y1; y2; : : : ; yn линейно независимы на интервале (a; b), то, в силу теоремы 4, W (x) 6= 0 для всех x 2 (a; b), а
значит, система (2.54), в силу теоремы 60 (Крамера) имеет, и притом единственное, решение.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решив систему (2.54), получим:
C10(x) = '1(x); C20(x) = '2(x); : : : ; Cn0 (x) = 'n(x);
откуда, интегрируя, найдем:
Z Z
C1(x) = '1(x) dx + C1; C2(x) = '2(x) dx + C2; : : : ;
Z
Cn(x) = 'n(x) dx + Cn;
где C1; C2; : : : ; Cn – произвольные постоянные.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
