DifYr

Покажем по определению 8, что

есть общее решением уравнения (2.41) в области D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как Y~ – решение уравнения (2.41) на интервале (a; b) и y1; y2; : : : ; yn – решения уравнения (2.43) на интервале (a; b), то при любых значениях постоянных C1; C2; : : : ; Cn функция (2.44) также является решением уравнения (2.41) на интервале (a; b):

h i

L Y~ + C1y1 + C2y2 + + Cnyn =

h i

= L Y~ + C1L [y1] + C2L [y2] + + CnL [yn] =

hi

=L Y~ q(x) на интервале (a; b):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Фиксируем произвольную точку x0 2 (a; b) и

y0; y00; : : : ; y(0n-1) 2 Rn.

Рассмотрим вспомогательную систему из n ли-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определителем основной матрицы системы (2.45) является определитель Вронского W(x), вычисленный в точке x0. Так как решения y1; y2; : : : ; yn линейно независимы на интервале (a; b), то W (x0) 6= 0, а значит, система (2.45), в силу теоремы 60 (Крамера) имеет, и притом единственное, решение C1; C2; : : : ; Cn.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как C1; C2; : : : ; Cn решение системы (2.45), то

Y (x0) = y1 (x0) C1 + y2 (x0) C2 + + yn (x0) Cn =

= y0 - Y~ (x0) ;

то есть решение Y уравнения (2.41) на интервале (a; b) проходит через точку (x0; y0) 2 D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть ' : (a; b) -! R некоторое решение уравнения (2.41) на интервале (a; b), то есть

L ['(x)] q(x) на интервале (a; b):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда функция (x) := '(x) - Y~(x) является решением на интервале (a; b) линейного однородного уравнения (2.43):

hi Ф. (2:42)

L [ (x)] = L ['(x)] - L Y~(x) q(x) - q(x) 0

на интервале (a; b);

а значит, по определению 8, оно может быть записано в виде:

(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + + Cn yn(x); x 2 (a; b):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Отсюда следует, что

'(x) = Y~(x) + C1 y1(x) + C2 y2(x) + + Cn yn(x)

для всех x 2 (a; b).

Итак, мы показали по определению 8, что

Y = Y~ + C1y1 + C2y2 + + Cnyn

есть общее решением уравнения (2.41) в области D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из теоремы 7 следует, что общее решение линейного неоднородного уравнения (2.41) в области

может быть получено как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (2.43) в области D и какого-нибудь решения данного уравнения (2.41) на интервале (a; b).

В общем случае задача подбора хотя бы одного решения

линейного неоднородного уравнения (2.41) представляет значительные трудности.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.15.Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации постоянных, позволяет находить решения линейного неоднородного уравнения (2.41) по известной фундаментальной системе решений соответствующего линейного однородного уравнения (2.43).

Заметим, что задача построения фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения (2.43) в общем случае НЕ РЕШЕНА!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit