DifYr

III. Если y1 и y2 – решения уравнений

L[y] = q1(x)

и

L[y] = q2(x)

на интервале (a; b), то y1 + y2 есть решение уравнения

L[y] = q1(x) + q2(x)

на интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Действительно

L [y1(x) + y2(x)] = L [y1(x)] + L [y2(x)] q1(x) + q2(x)

на интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Уравнение (2.66) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравне-

ния (2.66) – функция f(x) := e5x, естественная область определения которой является dom f = R. Будем искать общее решение уравнения (2.66) в области R2.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Запишем соответствующее линейное однородное уравнение

Корни характеристического уравнения k2-2k-3 = 0:

k1 = -1; k2 = 3:

Фундаментальная система решений уравнения (2.67)

на R:

y1 = e-x; y2 = e3x:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Общее решение уравнения (2.67):

y= C1e-x + C2e3x

вобласти R2, где C1; C2 – произвольные постоянные.

Запишем частное решение уравнения (2.66) на R по правилу I c неопределёнными коэффициентами:

Коэффициент A найдём из требования того, чтобы функция (2.68) была решением уравнения (2.66) на

R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Находим производные:

y = Ae5x ; y0 = 5Ae5x ; y00 = 25Ae5x

и подставляем в уравнение (2.66):

25Ae5x - 10Ae5x - 3Ae5x e5x:

Искомое частное решение уравнения (2.66) на R:

y~ = 121 e5x:

Ответ: Общее решение уравнения (2.66):

y= 121 e5x + C1e-x + C2e3x

вобласти R2, где C1; C2 – произвольные постоянные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Уравнение (2.69) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения (2.69) – функция f(x) := e-x, естественная область определения которой является dom f = R. Будем искать общее решение уравнения (2.69) в области R2.

Замечание. Уравнение (2.69) отличается от уравнения (2.66) только правой частью, поэтому найдём только частное решение уравнения (2.69) на R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Общее решение уравнения (2.67):

y= C1e-x + C2e3x

вобласти R2, где C1; C2 – произвольные постоянные.

Запишем частное решение уравнения (2.69) на R по правилу I c неопределёнными коэффициентами:

Коэффициент A найдём из требования того, чтобы функция (2.70) была решением уравнения (2.69) на

R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit