First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.7.Операторная форма записи нормальной
системы линейных уравнений
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.8.Линейные однородные системы. Структура
общего решения
Пусть задана линейная однородная система
|
dY |
+ P(x)Y = 0; |
|
(3.11) |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
где отображение P : (a; b) - |
Mn( |
R |
) непрерывно на |
интервале (a; b). |
! |
n |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так как функции pkj j; k = 1; 2; : : : ; n; непрерывны на интервале (a; b), то в области
D := (x; y1; y2; : : : ; yn)T |
|
x 2 (a; b); y1; y2; : : : ; yn 2 R |
|
|
|
|
|
|
выполнены условия теоремы 8 (Кош´и) и, следовательно, через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая системы (3.11).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 9. Множество решений системы (3.11) на интервале (a; b) образует линейное подпространство линейного пространства отображений интервала (a; b) в Rn.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Фиксируем два произвольных решения Y1; Y2 системы (3.11) на (a; b). Тогда для любых; 2 R имеет место тождество
d ( Y1 + Y2) |
+ P(x) ( Y + Y |
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
dY1 |
|
+ |
dY2 |
+ P(x)Y1 + P(x)Y2 = |
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
+ |
dx2 |
+ P(x)Y2 |
0 |
= |
dx1 + P(x)Y1 |
|
|
|
|
|
dY |
|
|
|
|
dY |
|
|
на (a; b), то есть Y1 + Y2 – есть также решение системы (3.11) на (a; b).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Это означает, что множество решений системы (3.11) на интервале (a; b) образует линейное подпространство линейного пространства отображений интервала (a; b) в Rn (см. пример 35). 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Следствие 9.1. Линейная комбинация
Y = C1Y1 + C2Y2 + + CnYn |
(3.12) |
с произвольными постоянными коэффициентами решений Y1; Y2; : : : ; Yn линейной однородной системы (3.11) является решением той же системы (3.11) на интервале (a; b).
Естественно возникает вопрос, не будет ли эта линейная комбинация (3.12), зависящая от n произвольных постоянных, являться общим решением системы (3.11) в области D?
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Ниже будет показано, что при определенных условиях на решения Y1; Y2; : : : ; Yn выражение
Y = C1Y1 + C2Y2 + + CnYn
действительно является общим решением системы (3.11) в области D или, другими словами, размерность линейного пространства решений линейной однородной системы (3.11) на интервале (a; b) сов-
падает с числом неизвестных функций y1; y2; : : : ; yn системы (3.11).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
