3.9. Линейная зависимость и линейная независимость решений линейной однородной
системы. Определитель Вронского и его свойства
Пусть задана совокупность отображений |
|
Y1; Y2; : : : ; Yn : (a; b) -! Rn; |
(3.13) |
где |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
y11 |
|
|
|
|
|
y21 |
|
|
|
|
|
yn1 |
|
|
|
|
|
By1C |
|
|
|
|
By2C |
|
|
|
BynC |
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
B |
|
C |
|
Y |
1 |
:= |
B C |
; Y |
2 |
:= |
B C |
; |
|
; Y := |
B C |
; |
|
|
B |
|
C |
|
|
|
B |
|
C |
|
|
n |
B |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
B C |
|
|
|
|
B C |
|
|
|
B C |
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
B C |
|
|
|
|
B C |
|
|
|
B C |
|
|
|
|
B |
nC |
|
|
|
|
B |
nC |
|
|
|
B nC |
|
|
|
|
By |
|
C |
|
|
|
|
By |
|
C |
|
|
|
BynC |
|
|
|
|
B |
1 C |
|
|
|
|
B |
2 C |
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
@ |
|
Am |
|
|
|
@ |
|
A |
|
|
|
@ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
yk |
: (a; b) -! R; k; m = 1; 2; : : : ; n: |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Из компонент отображений (3.13) составим матрицу
0 |
2 |
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
y11(x) y21(x) |
|
yn1 (x) |
|
|
By1(x) y2(x) |
yn(x)C |
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
B |
C |
(3.14) |
B |
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
B n |
|
n |
|
n |
C |
|
By |
(x) y (x) |
|
yn(x)C |
|
B |
1 |
|
2 |
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определитель матрицы (3.14) называют определителем Вронского для совокупности отображений Y1; Y2; : : : ; Yn и обозначают W [Y1; Y2; : : : ; Yn], то есть
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y11(x) y21(x) |
|
yn1 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
(x) y |
2 |
(x) |
|
yn(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W [Y |
1 |
; Y ; : : : ; Y |
] (x) := |
|
|
|
: |
(3.15) |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(x) y |
n |
(x) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
2 |
|
|
yn(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определитель Вронского есть функция определённая на интервале (a; b), то есть
W [Y1; Y2; : : : ; Yn] : (a; b) -! R:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 10. Если совокупность отображений
Y1; Y2; : : : ; Yn : (a; b) -! Rn;
линейно зависима на интервале (a; b), то определитель Вронского, составленный для такой совокупности отображений, тождественно равен нулю на интервале (a; b).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Так как совокупность отображений Y1; Y2; : : : ; Yn линейно зависима на интервале (a; b), то столбцы определителя Вронского (3.15), составленного для совокупности отображений Y1; Y2; : : : ; Yn, линейно зависимы на интервале (a; b). По теореме 55 значение такого определителя равно нулю для всех x 2 (a; b). 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
+ P(x)Y = 0;
Теорема 11. Если Y1; Y2; : : : ; Yn – n линейно независимых на интервале (a; b) решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений первого порядка
dY
dx
(3.16)
где отображение P : (a; b) -! Mnn(R) непрерывно на интервале (a; b), то составленный для них определитель Вронского ни в одной точке интервала (a; b) не равен нулю.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Теорему будем доказывать методом от противного. Предположим, что существует точка x0; a < x0 < b, в которой определитель Вронского, составленный для отображений Y1; Y2; : : : ; Yn, равен нулю:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y11 (x0) |
y21 (x0) |
|
yn1 (x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
(x0) |
y |
2 |
(x0) |
|
yn |
(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(x0) |
y |
3 |
(x0) |
|
3 |
|
|
|
W [Y |
|
; Y ; : : : ; Y |
|
] (x |
|
) = |
y |
1 |
2 |
|
yn |
(x0) |
= 0: |
1 |
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(x0) y |
n |
(x0) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
2 |
|
yn |
(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Рассмотрим вспомогательную систему из n линейных
однородных алгебраических уравнений с неизвестными
1; 2; : : : ; n:
8 |
y11 (x0) 1 + y21 (x0) 2 + |
|
+ yn1 (x0) n = 0; |
2 |
2 |
2 |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
1 |
2 |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
> |
|
|
+ yn |
(x0) n = 0; |
>y1 (x0) 1 + y2 (x0) 2 + |
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
< |
3 |
3 |
|
3 |
|
|
> |
|
|
|
> |
|
|
+ yn |
(x0) n = 0; |
>y (x0) 1 + y (x0) 2 + |
|
> |
|
(3.17) |
> |
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
1 |
2 |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
> |
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
: |
|
n |
|
n |
|
|
> n |
|
|
|
> |
|
|
+ yn |
(x0) n = 0: |
>y (x0) 1 + y (x0) 2 + |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
