Определителем основной матрицы системы (3.29) является определитель Вронского W [Y1; Y2; : : : ; Yn] (x), вычисленный в точке x0. Так как решения Y1; Y2; : : : ; Yn
линейно независимы |
на |
интервале (a; b), то |
W [Y1; Y2; : : : ; Yn] (x0) 6= |
0, а |
значит, система (3.29), |
в силу теоремы 60 (Крамера) имеет, и притом единственное, решение C1; C2; : : : ; Cn.
Рассмотрим решение, |
получающееся из выраже- |
ния (3.28) при C1 = C1, C2 = C2, : : :, Cn = Cn: |
Y = Y~ + C Y |
1 |
+ C Y |
2 |
+ |
|
+ C Yn: |
1 |
2 |
|
n |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так как C1; C2; : : : ; Cn решение системы (3.29), то
Y (x0) = Y1 (x0) C1 + Y2 (x0) C2 + + Yn (x0) Cn =
= Y0 - Y~ (x0) ;
то есть решение Y уравнения (3.23) на интервале (a; b)
проходит через точку x0; y01; y02; : : : ; y0n T |
2 D. |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пусть
:= '1; '2; : : : ; 'n T : (a; b) -! Rn
некоторое решение системы (3.23) на интервале (a; b), то есть
d |
+ P(x) Q(x) на интервале (a; b): |
(3.30) |
dx |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тогда функция (x) := (x) - Y~(x) является решением на интервале (a; b) однородной системы (3.27) соответствующей неоднородной системе (3.23):
dx |
+ P(x) = |
dx |
+ P(x) - |
"dx |
+ P(x)Y~# |
|
|
|
|
|
|
|
|
dY |
Ф. (3:30) |
d |
|
|
|
d |
|
|
~ |
|
Ф.(3:26)
Q(x) - Q(x) 0 на интервале (a; b);
азначит, по определению 13, оно может быть записано в виде:
(x) = C1 Y1(x) + C2 Y2(x) + + Cn Yn(x); x 2 (a; b):
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Отсюда следует, что
(x) = Y~(x) + C1 Y1(x) + C2 Y2(x) + + Cn Yn(x)
для всех x 2 (a; b).
Итак, мы показали по определению 11, что
Y = Y~ + C1Y1 + C2Y2 + + CnYn
есть общий интеграл [точнее общее решение] системы (3.23) в области D. 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Из теоремы 14 следует, что общее решение неоднородной системы (3.23) n линейных уравнений первого по-
рядка в области |
|
x 2 (a; b); y1; y2; : : : ; yn 2 R |
D := (x; y1; y2; : : : ; yn)T |
|
|
|
|
|
|
может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной системы (3.23) в области D и какого-нибудь решения данной системы (3.23) на интервале (a; b).
В общем случае задача подбора хотя бы одного решения неоднородной системы (3.23) n линейных уравне-
ний первого порядка представляет значительные трудности.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.12.Принцип суперпозиции решений линейной
неоднородной системы
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.13.Метод вариации постоянных
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.14. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Методы интегрирования
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.15.Линейные однородные системы. Алгоритм
построения фундаментальной системы решений
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
