DifYr

Так как определитель основной матрицы системы (3.17)

W [Y1; Y2; : : : ; Yn] (x0) равен нулю, то, в силу теоремы 61, линейная однородная система уравнений (3.17) имеет

ненулевое решение.

Обозначим через ~1; ~2; : : : ; ~n – ненулевое решение системы (3.17) и рассмотрим функцию

Y~ = ~1Y1 + ~2Y2 + : : : + ~nYn:

Это отображение, являясь линейной комбинацией решений системы (3.16) на интервале (a; b), тоже будет решением той же системы (3.16) на (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как

Y~ = ~1Y1 + ~2Y2 + : : : + ~nYn;

то при x = x0 имеем

Y~ (x0) = ~1Y1 (x0) + ~2Y2 (x0) + : : : + ~nYn (x0) 0

[~1; ~2; : : : ; ~n – ненулевое решение системы (3.17)] на интервале (a; b).

Это значит, что решение Y~ системы (3.16) удовлетворяет начальным условиям x0; |0; 0;{z: : : ; 0}.

n- раз

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Всякая линейная однородная система дифференциальных уравнений первого порядка имеет так называемое тривиальное решение, то есть решение, тождественно равное нулю:

0 1

0

B 0 C

B C

Y(x) B C

B C

@ A

0

на интервале (a; b). Это решение также удовлетворяет начальным условиям x0; |0; 0;{z: : : ; 0}.

n- раз

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

По теореме 8 (Кош´и) существования и единственности решения для системы (3.16) с непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами, задание системы начальных данных однозначно определяет решение, то есть решение Y~ должно совпадать с решением, тождественно равным нулю:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как среди чисел ~1; ~2; : : : ; ~n [~1; ~2; : : : ; ~n – ненулевое решение системы (3.17)] имеются отличные

от нуля, то из тождества (3.18), по определению 8, следует, что отображения Y1; Y2; : : : ; Yn линейно зависимы на интервале (a; b), что противоречит условию теоремы.

Итак, определитель Вронского, составленный для n линейно независимых на интервале (a; b) решений линейной однородной системы (3.16) дифференциальных уравнений первого порядка с непрерывными на (a; b) коэффициентами, ни в одной точке интервала (a; b) не равен нулю.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из доказанных свойств определителя Вронского следует, что если Y1; Y2; : : : ; Yn определенные на интервале (a; b) решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений первого порядка

dY

dx

+ P(x)Y = 0;

снепрерывными на интервале (a; b) коэффициентами

P = pkj 2 Mnn (C(a; b)), то составленный для них опре-

делитель Вронского либо тождественно равен нулю на интервале (a; b) [решения линейно зависимы], либо не равен нулю ни в одной точке интервала (a; b) [решения линейно независимы].

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.10.Фундаментальная система решений линейной

однородной системы

В этом разделе мы покажем, что размерность линейного пространства решений однородной системы n линейных уравнений первого порядка с n неизвестными функциями и непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами совпадает с числом неизвестных функций или, что то же самое, с числом уравнений.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 14. Фундаментальной системой решений однородной системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка с n неизвестными функциями на интервале (a; b) называется всякая совокупность из n линейно независимых на этом интервале решений системы.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из теорем 10 и 11 следует, что, для того чтобы совокупность решений Y1; Y2; : : : ; Yn однородной системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка

с непрерывны на (a; b) коэффициентами

P : (a; b) -! Mnn(R); (a; b) R;

была фундаментальной на интервале (a; b), необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 12. Если Y1; Y2; : : : ; Yn – фундаментальная система решений системы (3.19) на интервале (a; b), то линейная комбинация этих решений

где C1; C2; : : : ; Cn – произвольные постоянные, является общим решением системы (3.19) в области

y1; y2; : : : ; yn T 2 Rn Rn+1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit