DifYr

2.14. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

с произвольными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:

y(n) + p1(x)y(n-1) + p2(x)y(n-2) + +

+ pn-1(x)y0 + pn(x)y = q(x); (2.41)

где функции p1; p2; : : : ; pn; q : (a; b) -! R; (a; b) R;

непрерывны на некотором (конечном или бесконечном) интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Используя дифференциальный оператор

L[y] := y(n) + p1(x)y(n-1) + p2(x)y(n-2) + +

+ pn-1(x)y0 + pn(x)y;

можно записать уравнение (2.41) сокращенно в виде:

L[y] = q(x):

Выясним структуру общего решения уравнения (2.41) в

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 7. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (2.41) в области

есть сумма любого его решения на интервале (a; b) и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения в той же области.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Пусть Y~ – какое-нибудь решение уравнения (2.41) на интервале (a; b), то есть

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Обозначим через y1; y2; : : : ; yn фундаментальную систему решений на интервале (a; b) линейного однородного дифференциального уравнения

соответствующего уравнению (2.41). Тогда, в силу теоремы 5, общее решение уравнения (2.43) в области D запишется в виде:

y = C1y1 + C2y2 + + Cnyn;

где C1; C2; : : : ; Cn – произвольные постоянные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit