DifYr

Доказательство. Так как функции y1; y2; : : : ; yn линейно зависимы на интервале (a; b), то, по определению 8, существуют числа 1; 2; : : : ; n, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что имеет место тождество

на интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Дифференцируя тождество (2.23) последовательно n-1 раз, получим:

1y(1n-1) + 2y(2n-1) + + ny(nn-1) 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Запишем тождества (2.24) в матричной форме

причём среди чисел 1; 2; : : : ; n хотя бы одно отлично от нуля.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Соответствующий данной системе функций определитель Вронского при этом запишется в виде:

Из тождества (2.24) следует, что столбцы определителя

Вронского линейно зависимы на (a; b). По теореме 55 значение такого определителя равно нулю для всех x 2

(a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 4. Если y1; y2; : : : ; yn – n линейно независимых на интервале (a; b) решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка L[y] = 0 с непрерывными на (a; b) коэффициентами, то составленный для них определитель Вронского ни в одной точке интервала (a; b) не равен нулю.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Теорему будем доказывать методом от противного. Предположим, что существует точка x0; a < x0 < b, в которой определитель Вронского, составленный для функций y1; y2; : : : ; yn, равен нулю:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотрим вспомогательную систему из n линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными

1; 2; : : : ; n:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как определитель основной матрицы системы (2.26) W (x0) равен нулю, то, в силу теоремы 61, линейная однородная система уравнений (2.26) имеет ненулевое решение.

Обозначим через ~1; ~2; : : : ; ~n – ненулевое решение системы (2.26) и рассмотрим функцию

y~ = ~1y1 + ~2y2 + : : : + ~nyn:

Эта функция, являясь линейной комбинацией решений

уравнения L[y] = 0, сама будет решением того же уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как

y~ = ~1y1 + ~2y2 + : : : + ~nyn; y~ 0 = ~1y10 + ~2y20 + : : : + ~nyn0 ;

y~(n-1) = ~1y(1n-1) + ~2y(2n-1) + : : : + ~ny(nn-1);

то при x = x0 имеем

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

y~ (x0) = ~1y1 (x0) + ~2y2 (x0) + : : : + ~nyn (x0) = 0; y~ 0 (x0) = ~1y10 (x0) + ~2y20 (x0) + : : : + ~nyn0 (x0) = 0;

y~(n-1) (x0) = ~1y(1n-1) (x0) + ~2y(2n-1) (x0) + : : : + ~ny(nn-1) (x0) = 0:

[~1; ~2; : : : ; ~n – ненулевое решение системы (2.26)]

Это значит, что решение y~ уравнения L[y] = 0 удовлетворяет начальным условиям x0; |0; 0;{z: : : ; 0}.

n- раз

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit