DifYr
.pdf
Покажем, что все интегральные кривые уравнения (1.119) могут быть описаны в параметрической форме.
Будем рассматривать производную y0 как параметр: y0 = p; p 2 ( ; ). Тогда, из уравнения (1.119) следует, что
y = f(p); p 2 ( ; ): |
(1.120) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так как y0 = dy, то dx =
dx
жениями через p: y0 = p;
dx =
dpy. Заменяя y0 и dy их выра- dy = f0(p) dp, получим:
f0(pp) dp;
откуда, интегрируя, находим: |
(1.121) |
||
x = Z 0p |
dp + C; p 2 ( ; ); |
||
|
f (p) |
|
|
где C - некоторое число.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак, любая интегральная кривая уравнения (1.119) может быть записана в параметрической форме в ви-
де: |
|
R |
f0(p) |
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
p + C; |
p 2 ( ; ); |
|
||
|
|
p |
d |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
y = f(p); |
|
|
(1.122) |
||||
где C - некоторое число.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1.15.6.Уравнение Лагранжа
Уравнение не разрешённое относительно производной, линейное относительно x и y, то есть уравнение вида
y = ' y0 x + |
y0 ; |
(1.123) |
называется уравнением Лагранжа (Lagrange).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Это частный случай уравнения (1.110). Взяв за параметры x и y0 = p и используя зависимость dy = y0dx, получим
y = ' (p) x + (p) |
(1.124) |
и
p = '(p) + '0(p)x + 0(p) |
dp |
: |
(1.125) |
|
|||
dx |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если в уравнении (1.125) рассматривать x как искомую функцию, а p – как независимое переменное, то уравнение (1.125) эквивалентно двум уравнениям:
dx |
|
'0(p) |
|
0(p) |
(1.126) |
||
|
|
+ |
|
x = |
|
; '(p) - p 6= 0; |
|
dp |
'(p) - p |
p - '(p) |
|||||
|
|
|
|
|
|
'(p) - p = 0: |
(1.127) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Уравнение (1.126) линейно относительно x и dx и, сле-
dp
довательно, легко решается методом вариации постоянной; общее решение уравнения (1.126) имеет вид:
x = C!(p) + (p); |
(1.128) |
||
где |
- R '(p)-p dp: |
|
|
!(p) = e |
|
||
|
|
'0(p) |
|
Подставляя найденное выражение (1.128) для x в уравнение (1.124) получим
y = [C!(p) + (p)] '(p) + (p): |
(1.129) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Таким образом, формулы (1.128) и (1.129) выражают
переменные x и y в функции параметра p:
x = C!(p) + (p); |
(1.130) |
|
y = [C!(p) + (p)] '(p) + (p); |
||
|
||
где C - некоторое число. |
|
Уравнения (1.130) определяют искомые интегральные кривые уравнения (1.123) в параметрической форме.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пусть p = p0 есть решение уравнения (1.127). Тогда к найденным интегральным кривым (1.130) надо добавить решение
y = x'(p0) + (p0) |
(1.131) |
решение уравнения (1.123). Это решение есть прямая и оно не содержится в семействе интегральных кривых (1.130).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 27. Решить уравнение Лагранжа |
|
y = 2xy0 - y03: |
(1.132) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit