DifYr
.pdf
После умножения уравнения (1.74) на интегрирующий
множитель = 2 1 2 получим уравнение в полных
x +y
дифференциалах
|
|
x + y |
|
|
y - x |
||||||||
dU(x; y) = |
|
|
|
|
|
dx + |
|
|
|
|
|
dy = 0: |
|
x2 |
+ y2 |
x2 |
+ y2 |
||||||||||
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
{z |
|
} |
||||
|
|
|
M |
|
|
|
N |
||||||
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Находим функцию U: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
U(x; y) = Z |
x + y |
|
|
|
||||||||
|
|
dx + '(y) = |
|
||||||||||
x2 + y2 |
|
||||||||||||
= |
1 |
ln (x2 + y2) - arcctg |
x |
|
+ '(y) |
|
|||||||
|
y |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дифференцируем по y: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
- |
x |
+ '0(y) = |
y - x |
; |
|||||||
|
x2 + y2 |
x2 + y2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
||||||
то есть
'0(y) = 0 и '(y) = C:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак,
U(x; y) = 12 ln (x2 + y2) - arcctg yx + ln jCj
и
12 ln (x2 + y2) - arcctg yx = ln jCj
есть общий интеграл уравнения (1.74) в R2 n f(0; 0)g.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Перепишем общий интеграл в виде
qx2 + y2 = Cearcctg yx
или в полярных координатах = Ce' – логарифмические спирали.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак, |
семейство |
логарифмических |
спиралей |
|
p |
|
= Cearcctg yx |
есть общий интеграл в R2 n f(0; 0)g. |
|
x2 + y2 |
||||
Через начало координат не проходит ни одна интегральная кривая уравнения (1.74).
Начало координат – особая точка, называемая фокусом.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
(x + y) dx + (y - x) dy = 0
Ответ: px2 + y2 = Cearcctg yx есть общий интеграл урав- нения (1.74) в R2 n f(0; 0)g.
Начало координат – особая точка "фокус".
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1.14. |
Особые решения |
|
Пусть задано дифференциальное уравнение |
||
|
dy = f(x; y); |
(1.76) |
|
dx |
|
где f : D - R, а D R2 – область определения диф- |
||
ференциального уравнения (1.76). |
|
|
! |
|
|
|
First Prev |
Next Last Go Back Full Screen Close Quit |
Определение 5. Интегральная кривая уравнения (1.76) |
называется особой интегральной кривой, если в любой |
"-окрестности каждой точки этой интегральной кри- |
вой существует по крайней мере две интегральные кри- |
вые, проходящие через эту точку. |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit |
Теорема Коши даёт достаточные условия для того, |
чтобы в некоторой области не существовало особых |
интегральных кривых; следовательно, обратно, инте- |
гральная кривая может быть особой, если в любой |
"-окрестности каждой точки этой интегральной кри- |
вой не выполнены условия теоремы Коши. |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit |
Определение 6. Огибающей семейства кривых |
(x; y; C) = 0 |
называется кривая, которая в каждой своей точке ка- |
сается некоторой отличной от неё кривой семейства и |
каждого куска которой касается бесчисленное множе- |
ство различных кривых семейства. |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit |