DifYr

Итак, решить дифференциальное уравнение (2.1), это значит описать всё множество интегральных кривых

этого уравнения в области определения этого уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

легко дать геометрическое и механическое истолкования.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Геометрическое истолкование дифференциальному уравнения (2.2).

Кривизна кривой y = y(x) в каждой ее точке вычисляется по формуле

видим, что дифференциальное уравнение второго порядка выражает зависимость между координатами точки интегральной кривой, угловым коэффициентом ее касательной и кривизной в этой точке. Интегральные кривые уравнения (2.2) – это кривые, которые в каждой своей точке имеют предписываемое уравнением соотношение между угловым коэффициентом касательной к кривой и кривизной.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решить уравнение (2.2) – значит определить по указанной зависимости закон движения, то есть дать соотношение y = '(t), позволяющее в любой момент времени t определять положение движущейся точки. Уравнение (2.2) определяет, вообще говоря, бесчисленное множество решений (их называют движениями). Для того чтобы из этого бесчисленного множества движений выбрать определенное, в механике обычно задают начальное положение точки, то есть значение y при t = t0 (обозначим его y0), и начальную скорость, то есть зна-

чение dy при t = t0 (обозначим ее y00).

dt

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Совокупность трёх чисел x0; y0; y00, представляющие собой некоторое значение аргумента x = x0 и значения искомой функции (y (x0) = y0) и ее производнойy0 (x0) = y00 при этом значении аргумента принято называть начальными условиями или начальными данными для уравнения второго порядка:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Говорят, что решение ' : (a; b) -! R уравнения (2.4)

удовлетворяет начальным условиям x0; y0; y00, если

' (x0) = y0; '0 (x0) = y00.

Геометрически это значит, что соответствующая интегральная кривая уравнения (2.4) проходит через точку (x0; y0) 2 D плоскости xOy и имеет в точке (x0; y0) 2 graf ' касательную с угловым коэффициентом y00.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

0 (n-1)

Совокупность из (n + 1)-го чисел x0; y0; y0; : : : ; y0 , представляющих собой начальное значение аргумента x,(x = x0), и значения искомой функции y и всех ее производных до (n - 1)-го порядка включительно при этом значении аргумента принято называть начальными условиями или начальными данными для уравнения n-го порядка:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

условиям x0; y0; y00; : : : ; y(0n-1), где x0 2 (a; b), называется решением задачи Кош´и для уравнения (2.5).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если уравнение

F x; y; y0; y00; : : : ; y(n) = 0:

удается разрешить относительно старшей производной

где f непрерывная функция, определённая в области B Rn+1, то такое уравнение (2.6) называется уравне-

нием n-го порядка, разрешённым относительно старшей производной.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit