DifYr

Решение. Взяв за параметры x и y0 = p получим

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если в уравнении (1.134) рассматривать x как искомую функцию, а p – как независимое переменное, то уравнение (1.134) эквивалентно двум уравнениям:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Уравнение (1.135) линейно относительно x и dx и, сле-

dp

довательно, легко решается методом вариации постоянной; общее решение уравнения (1.135) имеет вид:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Следовательно, интегральные кривые уравне-

ния (1.133) определяются уравнениями:

8

где C - произвольное постоянное.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как p = 0 есть решение уравнения (1.134), то к найденным интегральным кривым (1.138) надо добавить решение y = 0, соответствующее p = 0. Это решение есть прямая и оно не содержится в семействе интегральных кривых (1.138).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.15.7.Уравнение Клеро

ется уравнением Клеро (Clairaut).

Уравнение Клеро – частный случай уравнения Лагранжа при ' y0 y0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Полагая y0 = p, получим

Дифференцируя равенство (1.140) по x, имеем

или

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Уравнение (1.140) эквивалентно двум:

второй множитель даёт дифференциальное уравнение

dp

dx

= 0;

откуда p = C, и общее решение уравнения (1.139)

– однопараметрическое семейство прямых.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Приравняем теперь нулю первый множитель уравнения (1.141). Тогда решение уравнения (1.139) опреде-

ляется равенствами

что является огибающей семейства интегральных кривых (1.142).

Это есть особое решение уравнения Клеро.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Это уравнение Клеро. Однопараметрическое семейство интегральных прямых имеет вид

y = Cx - C2:

Кроме того, интегральной кривой является огибающая этого семейства, определяемая уравнениями

y = Cx - C2; 0 = x - 2C:

Исключая C, получаем y = x2 – особое решение уравне-

4

ния (2.1).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit