DifYr

В силу теоремы 2 (Кош´и), через каждую точку (x0; y0) области D, представляющей собой полосу

на плоскости xOy, проходит решение уравнения (2.20), и это решение однозначно определяется заданием его начальных условий:

x0 2 (a; b); y0; y00; y000; : : : ; y(0n-1) 2 R:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Обозначим через L[y] сокращенно результат применения к функции y совокупности операций, указанных левой частью уравнения (2.20):

L[y] := y(n) + p1(x)y(n-1) + p2(x)y(n-2) + +

+ pn-1(x)y0 + pn(x)y: (2.21)

Отображение L каждой n раз непрерывно дифференцируемой на интервале (a; b) функции y ставит в соответствие некоторую функцию L[y] : (a; b) -! R.

Например, если L[y] = y00 + 3xy0 - y, то

hi

L e2x = 4e2x + 6xe2x - e2x;

h i

L x3 = 6x + 9x3 - x3:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Покажем, что отображение

L : Cn [(a; b)] -! C [(a; b)] ;

где Cn [(a; b)] и C [(a; b)] линейные пространства n раз непрерывно дифференцируемых на интервале (a; b) функций и непрерывных на интервале (a; b) функций, соответственно, является линейным оператором.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Действительно, для любых ; 2 R и y1; y2 2 Cn [(a; b)] имеем:

h i0 h i

+ pn-1(x) y1 + y2 + pn(x) y1 + y2 =

h i h i

= L y1 + L y2 :

Оператор L будем называть линейным дифференциальным оператором.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

С помощью линейного дифференциального оператора L уравнение (2.20) может быть сокращенно записано в виде:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решения линейного однородного уравнения (2.20) на (a; b) обладают следующим свойством:

если y1; y2 решения уравнения (2.20) на (a; b), то для любых ; 2 R функция y = y1 + y2 есть также решение уравнения (2.20) на (a; b).

Это свойство является непосредственным следствием свойства линейности оператора L.

Это означает, что множество решений уравнения (2.20) на (a; b) образует линейное пространство.

Какова размерность линейного пространства решений уравнения (2.20) на (a; b)?

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.9.Линейная зависимость и линейная

независимость функций

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit