Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа:
x2 3A = 3 ) A = 1 x1 2B = 0 ) B = 0
x0 C + 6A = 0 ) C = -6A ) C = -6:
Искомое частное решение уравнения (2.73) на R:
y~ = x x2 - 6 :
Ответ: Общее решение уравнения (2.73):
|
|
|
|
|
y = x x2 - 6 |
+ C |
+ C |
cos x + C |
sin x |
|
1 |
2 |
3 |
|
в области R2, где C1; C2; C3 – произвольные постоянные.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 39. Решить уравнение |
|
y000 + y0 = 10ex cos x: |
(2.75) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Уравнение (2.75) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения (2.75) – функция f(x) := 10ex cos x, естественная область определения которой является dom f = R. Будем искать общее решение уравнения (2.75) в области
R2.
Замечание. Уравнение (2.75) отличается от уравнения (2.60) только правой частью, поэтому найдём только частное решение уравнения (2.75) на R.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Общее решение уравнения (2.61):
y= C1 + C2 cos x + C3 sin x
вобласти R2, где C1; C2; C3 – произвольные постоянные.
Запишем частное решение уравнения (2.75) на R по правилу II c неопределёнными коэффициентами:
y = (A cos x + B sin x) ex
(k = 0; l = 0; m = maxfk; lg = 0; s = 1 + i; r = 0): (2.76)
Коэффициенты A и B найдём из требования того, чтобы функция (2.76) была решением уравнения (2.75) на R.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Находим производные:
y = (A cos x + B sin x) ex;
y0 = [(B + A) cos x + (B - A) sin x] ex; y00 = (2B cos x - 2A sin x) ex;
y000 = [2(B - A) cos x - 2(B + A) sin x] ex
и подставляем в уравнение (2.75):
0 y = (A cos x + B sin x) ex;
1y0 = [(B + A) cos x + (B - A) sin x] ex; 0 y00 = (2B cos x - 2A sin x) ex;
1y000 = [2(B - A) cos x - 2(B + A) sin x] ex
h i
(3B - A) cos x - (B + 3A) sin x ex 10ex cos x:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Сокращаем на ex и приравниваем коэффициенты при cos x; sin x слева и справа:
sin x |
-B - 3A = 0 |
|
B = 3: |
cos x |
|
3B - A = 10 |
) |
A = -1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомое частное решение уравнения (2.75) на R:
y~ = (- cos x + 3 sin x) ex:
Ответ: Общее решение уравнения (2.75):
y= (3 sin x - cos x) ex + C1 + C2 cos x + C3 sin x
вобласти R2, где C1; C2; C3 – произвольные постоянные.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 40. Решить уравнение |
|
y000 + y0 = 2 sin x: |
(2.77) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Уравнение (2.77) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения (2.77) – функция f(x) := 2 sin x, естественная область определения которой является dom f = R. Будем искать общее решение уравнения (2.77) в области
R2.
Замечание. Уравнение (2.77) отличается от уравнения (2.60) только правой частью, поэтому найдём только частное решение уравнения (2.77) на R.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Общее решение уравнения (2.61):
y= C1 + C2 cos x + C3 sin x
вобласти R2, где C1; C2; C3 – произвольные постоянные.
Запишем частное решение уравнения (2.77) на R по правилу II c неопределёнными коэффициентами:
y = x (A cos x + B sin x)
(k = 0; l = 0; m = maxfk; lg = 0; s = i; r = 1): (2.78)
Коэффициенты A и B найдём из требования того, чтобы функция (2.78) была решением уравнения (2.77) на R.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Находим производные:
y = x (A cos x + B sin x) ;
y0 = A cos x + B sin x + x (-A sin x + B cos x) ;
y00 = -2A sin x + 2B cos x + x (-A cos x - B sin x) ; y000 = -3A cos x - 3B sin x + x (A sin x - B cos x)
и подставляем в уравнение (2.75):
0 y = x (A cos x + B sin x) ;
1 y0 = A cos x + B sin x + x (-A sin x + B cos x) ;
0 y00 = -2A sin x + 2B cos x + x (-A cos x - B sin x) ; 1 y000 = -3A cos x - 3B sin x + x (A sin x - B cos x) ;
-2A cos x - 2B sin x 2 sin x:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
