Если в области G D Rn+1 выполнены условия теоремы 8 (Кош´и), то через каждую точку области G проходит единственная интегральная кривая.
Решить систему дифференциальных уравнений (3.4) или (3.2) – описать все множество интегральных кривых, расположенных в области определения системы.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 11. Совокупность равенств |
|
8 |
1(y0; y1; : : : ; yn) = C1; |
|
|
2(y0; y1; : : : ; yn) = C2; |
; |
(3.5) |
> |
|
> |
|
|
|
< |
|
|
|
> |
n(y0; y1; : : : ; yn) = Cn |
|
|
> |
|
|
|
: |
|
|
|
называется общим интегралом системы дифференциальных уравнений (3.4) в области G D Rn+1, если
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
для любой точки (y0; y1; : : : ; yn) 2 G существуют
числа (C ; C ; : : : ; C ) |
2 |
I |
|
Rn такие, что уравнения |
1 2 |
n |
|
|
|
8 |
1(y0; y1; : : : ; yn) = C1; |
|
2(y0; y1; : : : ; yn) = C2; |
; |
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
> |
n(y0; y1; : : : ; yn) = Cn |
|
> |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
задают интегральную кривую лежащую в области G и проходящую через точку (y0; y1; : : : ; yn) 2 G;
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
8
> (y ; y ; : : : ; yn) = C ;
> 1 0 1 1
< 2(y0; y1; : : : ; yn) = C2 ;
> ;
>
: n(y0; y1; : : : ; yn) = Cn :
для любой интегральной кривой L G существует точка (C1 ; C2 ; : : : ; Cn ) такая, что интегральная
кривая L G совпадает в области G с интегральной кривой
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 12. Если совокупность равенств
8
> (y ; y ; : : : ; yn) = C ;
> 1 0 1 1
< 2(y0; y1; : : : ; yn) = C2;
>> ;
: n(y0; y1; : : : ; yn) = Cn
есть общий интеграл системы дифференциальных уравнений (3.4) в области G D Rn+1, то каждое из равенств называется первым интегралом системы (3.4).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Обозначим через x одну из переменных y0; y1; : : : ; yn, например y0 = x, и будем считать её независимой переменной, а остальные переменные есть функции переменной x.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 13. Если соотношения (3.5), задающие общий интеграл системы (3.4) в области G, можно записать в виде
|
y1 = '1(x; C1; : : : ; Cn); |
|
|
8 y2 = '2(x; C1; : : : ; Cn); |
; |
(3.6) |
> |
|
> |
|
|
|
< |
|
|
|
> yn = 'n(x; C1; : : : ; Cn); |
|
|
> |
|
|
|
: |
|
|
|
то тогда соотношения (3.6) называются общим решением системы (3.4) в области G.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.4. Сведение интегрирования системы к интегрированию одного уравнения высшего
порядка
Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений системы (3.2) и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в систему (3.2), исключают все неизвестные функции, кроме одной, для определения которой получают одно дифференциальное уравнение более высокого порядка. Решая это уравнение высшего порядка, описывают всё множество его интегральных кривых. Остальные неизвестные функции, по возможности без интеграций, определяются из исходных уравнений и уравнений, по-
лучающихся в результате ихFirstдифференцированияPrev Next Last Go Back Full Screen. Close Quit
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
