3.3.Теорема умножения вероятностей

Для формулировки названной теоремы введем важное для теории вероятностей понятие независимости событий.

Событие Аназываетсянезависимымот событияВ, если вероятность событияАне зависит от того, произошло ли событиеВили нет.

Событие Аназываетсязависимымот событияВ, если вероятность событияАизменяется в зависимости от того, произошло ли событиеВили нет.

Пример 1. Опыт состоит из бросания двух монет. Рассмотрим события:

А – появление герба на первой монете;

B – появление герба на второй монете.

В данном случае эти события независимы, так как вероятность появления герба на первой монете никак не зависит от того, что появится на второй монете и наоборот вероятность появления герба на второй монете никак не зависит от того, что выпало на при бросании первой монеты.

Пример 2. В урне 2 белых и 3 черных шара. СобытиеАсостоит в том, что при вытаскивании первого шара он окажется белым. СобытиеВсостоит в том что при вытаскивании второго шара он тоже окажется белым. Очевидно, что событиеВ зависит от события А. Если произошло событие А, то событиеВ имеет вероятность 1/4, так как в этом случае из четырех оставшихся шаров только один белый. Если произошло событие(вытянут белый шар), то событиеВ имеет вероятность 1/2.

Условной вероятностьюсобытияВназывается его вероятность, вычисленная при условии, что произошло событиеА. Обозначение .

Условие независимости событий АиВ:

.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

(3.7)

Доказательство для схемы с равновозможными элементарными событиями. Пусть всего mсобытий. СобытиюАблагоприятныnслучаев, а событиюВблагоприятныkслучаев. Число случаев, благоприятныхАиВодновременно пустьl. Тогда

Поскольку событие А произошло только в nслучаях, то вероятность В:

Таким образом имеем:

Теорема доказана.

Следствие1. Если событиеАне зависит от событияВ, то событиеВне зависит от события А.

Доказательство. Дано . Надо доказать, что.

что и требовалось доказать.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Если события зависимые, то вероятность каждого следующего события вычисляется из предположения, что все предыдущие имели место.

Для независимых событий имеем:

;

. (3.8)

Пример3.Продолжим рассмотрение примера 2. В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Событие С– появление двух белых шаров; А– появление белого шара при первом вынимании;В- появление белого шара при втором вынимании.

Пример 4. Те же условия, но шары возвращают в урну.

Пример 5. Станок состоит из трех узлов, каждый из которых может отказать независимо от других узлов и приводит к отказу всего станка. Вероятность безотказной работы узлов за смену (8 ч работы) равнасоответственно для каждого узла. Определим вероятность безотказной работы станка за смену.

Решение. Обозначим события

А – безотказная работа станка в течение смены;

A₁- безотказная работа первого узла в течение смены;

A₂- безотказная работа второго узла в течение смены;

A₃- безотказная работа третьего узла в течение смены.

В этом случае имеем

,

а так как отказы узлов независимы друг от друга, то

Пример 6.Для обработки детали требуется выполнить последовательно три технологические операции. Вероятность брака при выполнении этих операций равна соответственноp₁,p₂,p_3. Определим вероятность того, что после этих трех операций получим годную деталь.

Решение. Пусть - события, состоящие в том, что произошел брак на соответствующей операции, аС – событие, состоящее в том, что деталь годная. СобытиеС произойдет, если на всех трех операциях не будет брака, то есть

.

Так как события эти события А₁,А₂,А₃ независимы, то

,

но (i=1,2,3), поэтому

.

Пример 7.Система числового управления (ЧПУ) станком состоит из четырех блоков, из которых второй блок дублирует первый, а четвертый – дублирует третий. Если происходит отказ основного блока, то автоматически происходит переключение на резервный блок. Все блоки и переключатели могут независимо друг от друга отказать. Вероятности безотказной работы блоков за заданное время равны соответственноа вероятность безотказной работы переключателя равнаp.Следует определить вероятность безотказной работы системы ЧПУ.

Решение. Пусть события, соответствующие безотказной работе блоков, есть , а переключателей -соответственно. Первый и второй блок вместе с переключателем целесообразно рассматривать как обобщенный блок, безотказная работа которого соответствует событиюА.Аналогично третий и четвертый блоки со своим переключателем целесообразно рассматривать как второй обобщенный блок, безотказная работа которого соответствует событиюВ. Эти события независимы друг от друга, поэтому событиеС, соответствующее безотказной работе системы ЧПУ, определяется так: , а.

Определим теперь Р(А)иР(В). Событие. Аналогично событие. Поэтому

,

а

.