
- •Министерство образования и науки рф
- •1.2.Краткие исторические сведения
- •2.Основные понятия теории вероятностей
- •2.1.Событие. Вероятность события
- •2.2.Непосредственный подсчет вероятностей
- •2.3.Основные формулы комбинаторики
- •2.3.Частота и статистическая вероятность события
- •2.4.Случайная величина
- •3.Основные теоремы теории вероятностей
- •3.1. События как множества и операции над ними
- •3.2.Теорема сложения вероятностей
- •3.3.Теорема умножения вероятностей
- •3.4.Формула полной вероятности.
- •3.5.Формула Бейеса или теорема гипотез.
- •Случайные величины и их законы распределения
- •4.1.Ряд распределения
- •4.2.Функция распределения
- •4.3.Плотность распределения
- •5.Числовые характеристики случайных величин
- •5.1.Характеристики положения
- •5.2.Моменты, дисперсия, квадратичное отклонение
- •5.3.Закон равномерной плотности
- •5.4.Распределение Симпсона
- •5.5.Биномиальное распределение
- •5.6.Распределение Пуассона
- •5.7.Геометрическое распределение
- •5.5.Биномиальное распределение
- •5.6.Распределение Пуассона
- •5.7.Геометрическое распределение
- •5.8.Распределение Паскаля
- •5.9.Гипергеометрическое распределение
- •5.10.Формула Стирлинга
- •6.Непрерывные распределения
- •6.1.Нормальное распределение
- •6.2.Показательное распределение
- •6.3.Логарифмически нормальное распределение
- •7.Статистическая оценка параметров распределения
- •7.1.Статистическая функция распределения
- •7.2.Статистический ряд. Гистограмма
- •7.3.Числовые характеристики распределения
- •7.4.Оценка параметров распределения
- •7.4.1. Метод моментов.
- •8.Метод наибольшего правдоподобия
- •8.1.Случай дискретных распределений
- •8.2.Случай непрерывных распределений
- •8.3.Другие методы оценки параметров
- •9.Проверка статистических гипотез
- •9.1.Вводные замечания
- •9.2.Проверка гипотезы о законе распределения
- •10.Системы случайных величин
- •10.1.Понятие о системе случайных величин
- •10.2.Двумерные случайные величины и их законы распределения
- •10.3.Плотность распределения двумерной случайной величины
- •10.4. Условные законы распределения
- •10.5.Зависимость и независимость случайных величин
- •10.6.Числовые характеристики двумерных случайных величин
- •11.Двумерный нормальный закон распределения
- •12.Числовые характеристики функций случайных величин
- •12.1.Математическое ожидание и дисперсия функции
- •12.2.Теоремы о числовых характеристиках
- •13.Распределение функции случайных аргументов
- •13.1.Распределение функции одного аргумента
- •13.2.Распределение суммы случайных величин
- •13.3.Распределение суммы нормально распределенных случайных величин
- •13.Распределение функции случайных аргументов
- •13.1.Распределение функции одного аргумента
- •13.2.Распределение суммы случайных величин
- •13.3.Распределение суммы нормально распределенных случайных величин
- •14.Предельные теоремы
- •14.1.Понятие о законе больших чисел
- •14.2.Неравенство Чебышева
- •14.3.Закон больших чисел Чебышева
- •14.4.Центральная предельная теорема
5.2.Моменты, дисперсия, квадратичное отклонение
Кроме рассмотренных выше характеристик положения используются и другие числовые характеристики случайной величины, характеризующие степень разброса, форму распределения и др. Для этого используют моменты распределения.
Начальным моментом s-го порядканазывается сумма вида:
для дискретной случайной величины и интеграл:
(5.2.1)
для непрерывной случайной величины.
Нетрудно убедиться, что математическое ожидание – это первый начальный момент, а математическое ожидание s-той степениХ – это начальный момент порядкаs случайной величиныХ. То есть
.
(5.2.2)
Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания:
.
(5.2.3)
Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.
Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.
Центральным моментом порядка sслучайной величиныХназывается математическое ожиданиеs-й степени соответствующей центрированной случайной величины:
.
Для дискретной случайной величины s-й центральный момент:
для непрерывной:
(5.2.4)
Рассмотрим второй центральный момент.
Аналогично третий центральный момент.
Вообще говоря, моменты могут рассматриваться относительно произвольной точки а:
Но центральные моменты имеют преимущество: первый центральный момент равен нулю, а второй центральный момент минимален. Докажем это.
Минимум
будет при
.
Второй центральный момент называется дисперсиейслучайной величины. Обозначение:
Т.е. дисперсиейслучайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.
Другие формы записи:
(5.2.5)
Дисперсия есть характеристика рассеивания случайной величины около её математического ожидания. В механике ей аналогичен момент инерции относительно центра тяжести. Формула для расчёта дисперсии:
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Чтобы иметь дело с величиной такой же размерности, что и случайная величина, введено среднее квадратичное отклонение (стандарт).
Обозначение:
Для положительных случайных величин в качестве меры разброса используюткоэффициент вариации как отношение квадратичного отклонения к математическому ожиданию, то есть
. (5.2.6)
Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную характеристику, его делят на куб среднего квадратичного отклонения. Получают коэффициент асимметрииили простоасимметрию:
(5.2.7)
Рис.5.2.1.Иллюстрация к определению ассиметрии. Распределение 1 имеет положиельную ассиметрию, а распределение 2 – отрицательную.
Четвёртый центральный момент служит для характеристики “крутости”, то есть островершинности или плосковершинности распределения. Величина называется эксцессом. Запись:
(5.2.8)
Рис.5.2.2. Иллюстрация к определению эксцесса.
Кроме начальных и центральных моментов иногда применяются абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами
Первый абсолютный центральный момент называется ещё средним арифметическим отклонением.