11.Двумерный нормальный закон распределения

Двумерный нормальный закон чаще других двумерных законов используется на практике. Плотность распределения в этом случае имеет вид:

Этот закон зависит от пяти параметров. Первые два параметра – это безусловные математические ожиданияXиY.Вторые два – безусловные квадратичные отклоненияXиY. Пятый параметр - это коэффициент корреляции междуXиY.

При r=0

То есть в этом случае случайные величиныXиYнезависимы. То есть в этом случае равенство коэффициента корреляции нулю равносильно независимости компонент двумерной случайной величины. Еслиr>0, то условные плотности имеют вид:

где

Условные математические ожидания зависят линейно отy и отxсоответственно. Эти зависимости называютрегрессиями XнаY иYнаX соответственно. Интересно отметить, что условные квадратичные отклоненияне зависят отyиx .

12.Числовые характеристики функций случайных величин

12.1.Математическое ожидание и дисперсия функции

На практике часто приходится иметь дело с функциями от случайных величин. Предположим, что случайные величины Y и X связаны функционально, то есть

,

тогда математическое ожидание Y

, (12.1.1)

а дисперсия

, (12.1.2)

где - плотность распределения величиныX.

Важно отметить, что для определения отмеченных характеристик случайной величины Y не требуется знать ее закон распределения, достаточно знать только закон распределения X .

Если Y функционально связана с системой случайных величин (, то есть

,

то

.

Дисперсия Y

.

12.2.Теоремы о числовых характеристиках

12.2.1.Характеристики неслучайной величины

Неслучайная величина X=c как частный случай случайной величины имеет плотность, выражающуюся через дельта-функцию Дирака, то есть

.

Математическое ожидание неслучайной величины c

. (12.2.1)

Действительно

.

Дисперсия неслучайной величины

D( с )=0. (12.2.2)

Действительно

.

12.2.2. Характеристики функции Y=cX

Математическое ожидание

. (12.2.3)

Дисперсия

. (12.2.4)

12.2.3.Характеристики суммы случайных величин

Если , то

,

то есть математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожидании слагаемых.

. (12.2.5)

Докажем этот факт для случая суммы двух случайных величин X и Y.

=.

Дисперсия суммы случайных величин X и Y

. (12.2.6)

Доказательство.

Если случайные величины независимы, то

.

Если , то

. (12.2.7)

Если случайные величины, входящие в сумму взаимно не коррелированны, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий:

. (12.2.8)

12.2.4.Характеристики линейной функции

Рассмотрим функцию

.

Математическое ожидание

. (12.2.9)

Доказательство. Пользуясь формулой (12.2.5) получаем, что

.

Дисперсия Y

, (12.2.10)

где K_ij - корреляционный момент пары (X_i,X_j). Эта формула является следствием (12.2.7).

Доказательство. Пусть , тогда

Если случайные величины X_i не коррелированны друг с другом, то

. (12.2.11)

12.2.5.Характеристики произведения случайных величин

Пусть

,

тогда

. (12.2.12)

Доказательство. Представим X и Y в виде:

,

тогда

что равносильно (12.2.12).

Если X и Y не коррелированны, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий, то есть:

. (12.2.13)

Дисперсия произведения независимых случайных величин X и Y

. (12.2.14)

Доказательство.

.(12.2.15)

Так как X и Y независимы, то

.

Если эти выражения подставить в (12.2.15), то после приведения подобных членов получаем (12.2.14).

Для независимых центрированных величин дисперсия произведения равна произведению дисперсий, то есть

. (12.2.16)