1.2.Краткие исторические сведения

Возникновение теории вероятностей относится к середине ХVIIв. и связано с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма, Якова Бернулли. Первые результаты были связаны с анализом азартных игр. Были определены понятия вероятности и математического ожидания.

Серьезные требования со стороны естествознания (теория ошибок наблюдения, задачи теории стрельбы, проблемы статистики демографии и страхования) привели к необходимости дальнейшего развития теории вероятностей и ее математического аппарата. Здесь следует отметить таких ученых как Муавр, Лаплас, Гаусс, Пуассон.

С половины XIXвека большой в клад в развитие теории вероятностей внесли русские ученые: Чебышев П.Л., Марков А.А., Ляпунов А.М., Буняковский В.Я.

Современное развитие теории вероятностей знаменуется широким ее применением на практике. В основе таких наук, как теория массового обслуживания, теория надежности, теория производительности, теория статистического контроля и качества, теория статистического моделирования, теория информации, теория игр, математическая генетика и др.

На современном этапе наряду с зарубежными учеными большой вклад в развитие теории вероятностей сделали советские ученые: Бернштейн С.Н., Колмогоров А.Н., Хинчин А.Я., Гнеденко Б.В. и др.

Параллельно с теорией вероятностей развивалась и математическая статистика. Ее развитие связано с такими именами: Кетле А.(1796-1874), Гальтона Ф.(1822-1911) и в особенности Пирсона К.(1857-1936). В современном развитии математической статистики большую роль сыграли: Фишер Р., Нейман Ю., Вальд.А., Крамер Г. Среди советских ученых значительный вклад в развитие математической статистики сделали: Слуцкий Е.Е., Колмогоров А.Н., Романовский В.И., Смирнов Н.В. и др.

2.Основные понятия теории вероятностей

2.1.Событие. Вероятность события

Под событиемв теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Например, как уже упоминалось, событием является: выпадение герба при бросании монеты; выпадение шестерки при бросании игральной кости; брак детали из-за поломки инструмента. Каждое из этих событий обладает какой-то степенью возможности реализации. Очевидно, что выпадение герба имеет большую возможность по сравнению с возможностью выпадения шестерки при бросании игральной кости, так как в первом случае только два возможных исхода подбрасывания, а во втором – шесть.

Чтобы количественно сравнивать степени возможности различных событий вводится определенной число, называемое вероятностьюсобытия. Если событие наверняка происходит, то оно имеет вероятность 1.0. Такое событие называетсядостоверным. Если же оно никогда не может произойти, то оно имеет вероятность 0 и называется невозможнымсобытием. В промежуточных случаях вероятность может принимать значения от 0 до 1.0.

2.2.Непосредственный подсчет вероятностей

Существует целый класс опытов, когда вероятности событий легко подсчитываются. Например, в случае подбрасывания симметричной (не вогнутой) монеты возможны два исхода подбрасывания, каждый из которых равновозможен, поэтому вероятность выпадения герба равна 1/2 . При подбрасывании правильной игральной кости имеется 6 равновозможных исходов и поэтому вероятность выпадения шестерки равна 1/6. Вообще, если опыт имеет m равновозможных исходов, то вероятность реализации конкретного исхода равна 1/m.

Симметричность возможных исходов обычно наблюдается только в искусственно организованных опытах, поэтому этот случай большого практического значения не имеет. Реально монета может быть слегка деформирована, а кость не совсем симметрична или имеет смещенный центр тяжести. Но не смотря на это рассмотрение таких идеальных схем позволяет проще познакомиться с основными свойствами вероятности, поэтому займемся ими подробнее.

Введем некоторые вспомогательные понятия.

Полной группой событийбудем называть все возможные события опыта, то есть в результате опыта непременно должно реализоваться одно из них.

Например:

• при подбрасывании монеты полная группа включает два события: выпадение герба и выпадение цифры;

• при подбрасывании игральной кости полная группа имеет 6 событий: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6;

• очередная обработанная деталь на станке годная или бракованная;

• попадание или промах при выстреле;

• при подбрасывании сразу двух монет полная группа включает три события: выпали оба герба, выпали обе цифры, выпали герб и цифра.

Несовместимыминазываются события в данном опыте, которые не могут произойти вместе.

Например:

• не могут при подбрасывании одной монеты выпасть и герб и цифра;

• не могут при подбрасывании одной игральной кости выпасть и 6 и 1;

• в результате обработки детали она может оказаться либо годной либо бракованной:

• за восемь часов работы станка может произойти либо 1, либо 2, либо 3 и т.д. отказов;

Очевидно, что события, входящие в полную группу, должны быть несовместимыми.

Такую группу событий называют так же пространством элементарных событий [5, 9]. Если множество элементарных событий обозначить ,то любое другое сложное событиеAбудет состоять в реализации одного из элементарных событий, принадлежащих подмножествуAмножества,то естьAесть подмножество множества. В сокращении это пишется такА. Здесь и в дальнейшем само событие и соответствующее ему подмножество элементарных событий будем обозначать одной заглавной буквой, в данном случаеА. Пустое подмножествосоответствует невозможному событию, а- достоверному событию. Соответственно вероятность невозможного события, а вероятность достоверного события. Соответственно любое другое событиеAимеет вероятность.

Если элементарные события из множества равновозможны и мощность множества (число событий) равноm, а событиеAсостоит в реализации одного изn событий, то вероятность событияA

.(2.1)

Пример 1. Вычислим вероятность того, что при подбрасывании игральной кости произойдет событиеA, состоящее в выпадении четного числа.

Множество содержит следующие элементарные события: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6. ПодмножествоAсодержит события, состоящие в выпадении 2, 4, 6. То естьm=6, аn=3. Значит

Пример 2. В урне находится два белых и три черных шара. Какова вероятность событияB, состоящего в том, что наугад вынутый шар будет черным?.

В этом случае множество =[Б, Б, Ч, Ч, Ч], а подмножествоB=[Ч, Ч, Ч]. Здесь Б обозначено событие, состоящее в вытаскивании белого шара, а Ч – черного шара. В данном случаеm=5, аn=3, то есть

Пример 3. В урнеa белых иbчерных шара. Из урны вытаскивается два шара. Какова вероятность событияD, состоящего в том, что они оба будут черными.

Общее количество вариантов вытаскивания двух шаров

Первый множитель – это количество вариантов вытаскивания первого шара, если все шары различны, а второй множитель количество вариантов вытаскивания второго шара.

Количество вариантов вытаскивания двух черных шаров

Здесь первый множитель – число вариантов, когда первый шар оказался черным, а второй множитель – когда второй шар оказался тоже черным. Итак

.

Пример 4. В партии изМдеталейNбракованных. Из партии берется выборкаaдеталей. Какова вероятность событияE, состоящего в том что ровноbдеталей в выборке окажутся бракованными.

Число равновозможных вариантов выборки адеталей изМ

.

Число тех выборок, в которых все детали будут бракованными

.

Здесь мы воспользовались известными формулами из комбинаторики о числе сочетаний.

(2.2)

Приведем здесь полезные для дальнейшего некоторые формулы из комбинаторики.