- •Министерство образования и науки рф
- •1.2.Краткие исторические сведения
- •2.Основные понятия теории вероятностей
- •2.1.Событие. Вероятность события
- •2.2.Непосредственный подсчет вероятностей
- •2.3.Основные формулы комбинаторики
- •2.3.Частота и статистическая вероятность события
- •2.4.Случайная величина
- •3.Основные теоремы теории вероятностей
- •3.1. События как множества и операции над ними
- •3.2.Теорема сложения вероятностей
- •3.3.Теорема умножения вероятностей
- •3.4.Формула полной вероятности.
- •3.5.Формула Бейеса или теорема гипотез.
- •Случайные величины и их законы распределения
- •4.1.Ряд распределения
- •4.2.Функция распределения
- •4.3.Плотность распределения
- •5.Числовые характеристики случайных величин
- •5.1.Характеристики положения
- •5.2.Моменты, дисперсия, квадратичное отклонение
- •5.3.Закон равномерной плотности
- •5.4.Распределение Симпсона
- •5.5.Биномиальное распределение
- •5.6.Распределение Пуассона
- •5.7.Геометрическое распределение
- •5.5.Биномиальное распределение
- •5.6.Распределение Пуассона
- •5.7.Геометрическое распределение
- •5.8.Распределение Паскаля
- •5.9.Гипергеометрическое распределение
- •5.10.Формула Стирлинга
- •6.Непрерывные распределения
- •6.1.Нормальное распределение
- •6.2.Показательное распределение
- •6.3.Логарифмически нормальное распределение
- •7.Статистическая оценка параметров распределения
- •7.1.Статистическая функция распределения
- •7.2.Статистический ряд. Гистограмма
- •7.3.Числовые характеристики распределения
- •7.4.Оценка параметров распределения
- •7.4.1. Метод моментов.
- •8.Метод наибольшего правдоподобия
- •8.1.Случай дискретных распределений
- •8.2.Случай непрерывных распределений
- •8.3.Другие методы оценки параметров
- •9.Проверка статистических гипотез
- •9.1.Вводные замечания
- •9.2.Проверка гипотезы о законе распределения
- •10.Системы случайных величин
- •10.1.Понятие о системе случайных величин
- •10.2.Двумерные случайные величины и их законы распределения
- •10.3.Плотность распределения двумерной случайной величины
- •10.4. Условные законы распределения
- •10.5.Зависимость и независимость случайных величин
- •10.6.Числовые характеристики двумерных случайных величин
- •11.Двумерный нормальный закон распределения
- •12.Числовые характеристики функций случайных величин
- •12.1.Математическое ожидание и дисперсия функции
- •12.2.Теоремы о числовых характеристиках
- •13.Распределение функции случайных аргументов
- •13.1.Распределение функции одного аргумента
- •13.2.Распределение суммы случайных величин
- •13.3.Распределение суммы нормально распределенных случайных величин
- •13.Распределение функции случайных аргументов
- •13.1.Распределение функции одного аргумента
- •13.2.Распределение суммы случайных величин
- •13.3.Распределение суммы нормально распределенных случайных величин
- •14.Предельные теоремы
- •14.1.Понятие о законе больших чисел
- •14.2.Неравенство Чебышева
- •14.3.Закон больших чисел Чебышева
- •14.4.Центральная предельная теорема
7.3.Числовые характеристики распределения
Аналогом математического ожидания в статистике является среднее арифметическое наблюдённых значений случайной величины или статистическое среднее:
где n– число опытов. Согласно закону больших чисел при неограниченном увеличении числа опытов статистическое среднее приближается к математическому ожиданию. Подобные аналогии существуют для всех числовых характеристик. Будем обозначать их теми же буквами со звёздочкой.
Статистическая дисперсия:
- статистическое среднее.
Аналогично определяются статистические начальные и центральные моменты любых порядков:
Нетрудно доказать, что для статистических моментов справедливы те же свойства, что и для математических моментов. Например, статистический первый центральный момент всегда равен нулю:
Соотношения между начальными и центральными моментами также сохраняются:
Если число опытов слишком велико и приходится разбивать их на разряды, то получим приближённые формулы:
где - представительi-го разряда,- частотаi-го разряда,k – число разрядов.
7.4.Оценка параметров распределения
При обработке статистического материала часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения. Такая задача называется задачей выравнивания статистических рядов и состоит в подборе теоретической плавной кривой распределения, наилучшим образом описывающей данное распределение.
Наиболее часто применяется метод наименьших квадратов, при котором сумма квадратов отклонений обращается в минимум. Часто вид случайной функции известен заранее, и нужно лишь определить параметры этой функции. Для решения этой задачи часто применяют различные методы оценки параметров.
Чаще всего используют следующие методы:
метод моментов;
метод максимального правдоподобия;
метод минимума хи-квадрата.
7.4.1. Метод моментов.
Согласно методу моментов параметры распределения выбираются таким образом, чтобы моменты статистического распределения совпадали с соответствующими моментами предполагаемого закона распределения. Если предполагаемый закон распределения случайной величины Xимеет один параметр, то он оценивается в результате решения уравнения
.
Если число параметров 2, то приравниваются первые два момента, в результате получаем систему из следующих двух уравнений для оценки неизвестных параметров распределения:
,
.
Если параметров 3, то приравниваются первые три момента и решают систему уже из трех уравнений и так далее.
Проиллюстрируем применения этого метода на конкретных примерах.
Пример 1. В результате наблюдений за работой станка были получены следующие значения наработки до отказа:. Известно, что наработка на отказ подчиняется показательному распределению с плотностью
. (7.4.1)
Для этого распределения , а.
Таким образом, получаем следующую формулу для оценки параметра aпоказательного распределения по опытным данным:
. (7.4.2)
Пример 2. В результате контроля размераXпартии изNдеталей были получены значения. Требуется оценить по этой выборке параметры распределения, в предположении его нормальности. Плотность нормального распределения имеет вид:
. (7.4.3)
Это распределение имеет два параметра и, поэтому для их оценки имеем два уравнения, полученные отмеченным выше приравниванием математических ожиданий и дисперсий:
(7.4.4)
. (7.4.5)
Пример 3. Оценим параметры равномерного распределения случайной величиныXпо выборке.
Плотность равномерного распределения задается следующим образом:
(7.4.6)
В этом случае для оценки параметров aиbметод моментов дает следующие два уравнения:
,
.
В результате решения этой системы получаем:
(7.4.7)
Пример 4. Случайная величинаTимеет гамма распределение с плотностью
, (7.4.8)
где - параметры, подлежащие оценке. Если- реализаци случайной величиныT, то учитывая, что
,
,
получаем:
, (7.4.9)
где
. (7.4.10)
Пример 5. Оценим параметры логарифмически нормального распределения случайной величиныTпо выборке.Плотность распределения
(7.4.11)
Математическое ожидание и дисперсия выражаются через параметры a и следующим образом.
,
Приравнивая теоретические и статистические моменты и решая соответствующие уравнения, получаем:
, (7.4.12)
. (7.4.12)
Пример 6. Дано статистическое распределение боковой ошибки наводки Х при стрельбе с самолёта по наземной цели. Требуется выровнять это распределение с помощью нормального закона.
Инт. |
-4; -3 |
-3; -2 |
-2; -1 |
-1;0 |
0;1 |
1;2 |
2;3 |
3;4 |
Ni |
6 |
25 |
72 |
133 |
120 |
88 |
46 |
10 |
pi* |
0,012 |
0,050 |
0,144 |
0,266 |
0,240 |
0,176 |
0,092 |
0,020 |
Нормальный закон распределения:
Решение. Нормальный закон зависит от двух параметров: m и . Вычислим статистическое среднее:
Для вычисления дисперсии определим второй начальный момент (S=2,k=8).
Задаём параметры нормального закона:
С учётом сглаживания получим вид закона распределения:
Можно построить гистограмму и сглаженный график.
Пример 7. С целью исследования закона распределения ошибки измерения дальности с помощью радиодальномера произведено 400 измерений дальности. Результаты опытов представлены в виде статистического ряда. Выровнять статистический ряд с помощью закона равномерной плотности.
Решение. Закон равномерной плотности выражается формулой
и зависит от двух параметров и.
Математическое ожидание и дисперсия для закона равномерной плотности:
Инт.,м |
20;30 |
30;40 |
40;50 |
50;60 |
60;70 |
70;80 |
80;90 |
90;100 |
mi |
21 |
72 |
66 |
38 |
51 |
56 |
64 |
32 |
pi* |
0,052 |
0,180 |
0,165 |
0,095 |
0,128 |
0,140 |
0,160 |
0,080 |
Перенесём начало отсчёта в точку х0=60. Получим таблицу
xi |
-35 |
-25 |
-15 |
-5 |
5 |
15 |
25 |
35 |
pi* |
0,052 |
0,180 |
0,165 |
0,095 |
0,128 |
0,140 |
0,160 |
0,080 |
где x – среднее для разряда значение ошибки дальномера.
Статистическое среднее приближённо равно
Второй статистический момент равен
Статистическая дисперсия:
Возвращаемся в прежнее начало
Дисперсия та же.
Параметры закона равномерного распределения определим из решения системы уравнений.
Решение: .
Плотность распределения
Гистограмма и плотность равномерного распределения показаны на рисунке.