101

Министерство образования и науки рф

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

Политехнический институт

Кафедра «Автоматизированные станочные системы»

Пасько Н.И.

профессор, доктор технических наук

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

Теория вероятностей и математическая статистика

Направления подготовки: 230100-« Информатика и вычислительная

техника»

Тула 2012 г.

Содержание

1.Введение

1.1.Предмет теории вероятностей и математической статистики

1.2.Краткие исторические сведения

2.Основные понятия теории вероятностей

2.1.Событие. Вероятность события

2.2.Непосредственный подсчет вероятностей

2.3.Основные формулы комбинаторики

2.3.Частота и статистическая вероятность события

2.4.Случайная величина

3.Основные теоремы теории вероятностей

3.1. События как множества и операции над ними

3.2.Теорема сложения вероятностей

3.3.Теорема умножения вероятностей

3.4.Формула полной вероятности.

3.5.Формула Бейеса или теорема гипотез.

4.Случайные величины и их законы распределения

4.1.Ряд распределения

4.2.Функция распределения

4.3.Плотность распределения

5.Числовые характеристики случайных величин

5.1.Характеристики положения

5.2.Моменты, дисперсия, квадратичное отклонение

5.3.Закон равномерной плотности

5.4.Распределение Симпсона

5.5.Биномиальное распределение

5.6.Распределение Пуассона

5.7.Геометрическое распределение

5.5.Биномиальное распределение

5.6.Распределение Пуассона

5.7.Геометрическое распределение

5.8.Распределение Паскаля

5.9.Гипергеометрическое распределение

5.10.Формула Стирлинга

6.Непрерывные распределения

6.1.Нормальное распределение

6.2.Показательное распределение

6.3.Логарифмически нормальное распределение

7.Статистическая оценка параметров распределения

7.1.Статистическая функция распределения

7.2.Статистический ряд. Гистограмма

7.3.Числовые характеристики распределения

7.4.Оценка параметров распределения

8.Метод наибольшего правдоподобия

8.1.Случай дискретных распределений

8.2. Случай непрерывных распределений

8.3.Другие методы оценки параметров

9.Проверка статистических гипотез

9.1.Вводные замечания

9.2.Проверка гипотезы о законе распределения

10.Системы случайных величин

10.1.Понятие о системе случайных величин

10.2.Двумерные случайные величины и их законы распределения

10.3.Плотность распределения двумерной случайной величины

10.4. Условные законы распределения

10.5.Зависимость и независимость случайных величин

10.6.Числовые характеристики двумерных случайных величин

11.Двумерный нормальный закон распределения

12.Числовые характеристики функций случайных величин

12.1.Математическое ожидание и дисперсия функции

12.2.Теоремы о числовых характеристиках

13.Распределение функции случайных аргументов

13.1.Распределение функции одного аргумента

13.2.Распределение суммы случайных величин

13.3.Распределение суммы нормально распределенных случайных величин

14.Предельные теоремы

14.1.Понятие о законе больших чисел

14.2.Неравенство Чебышева

14.3.Закон больших чисел Чебышева

14.4.Центральная предельная теорема

1.Введение

1.1.Предмет теории вероятностей и математической статистики

Теория вероятностей– это наука, изучающая закономерности случайных событий. Она позволяет определять вероятности и другие характеристики одних событий через аналогичные показатели других событий.

Математическая статистикапозволяет оценивать вероятности и другие характеристики случайных событий из опыта.

Случайное событие, это такое событие, которое при одних и тех же условиях может произойти или не произойти.

Приведем примеры случайных событий. Выпадение герба при подбрасывании монеты есть случайное событие. Выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости тоже случайное событие. Оба эти события точно предсказать невозможно.

При обработке детали на станке автомате произошел брак обрабатываемой детали из-за поломки режущего инструмента. В данном случае случайное событие – поломка инструмента – привело к браку детали.

При подходе к трамвайной остановке пришлось ожидать трамвай менее одной минуты. Здесь случайное событие – это то, что пришлось ожидать трамвая менее одной минуты.

Случайные события происходят в повседневной жизни постоянно. Случайность в большей или меньшей степени характерна для всех физических процессов. Более того, согласно современным физическим представлениям на атомном и субатомном уровне действуют случайные закономерности еще в большей степени. Причем эта случайность объясняется не отсутствием знаний о закономерностях микромира, а изначально свойственна этим закономерностям.

Относительно природы случайности бытуют две точки зрения. Согласно первой – случайность объясняется отсутствием знаний о соответствующем явлении, которая исчезнет, если мы изучим до конца закономерности этого явления. Вторая точка зрения предполагает, что существует изначальная случайность, которую путем изучения явления можно уменьшить, но не исключить. Вторая (современная) точка зрения основывается на отмеченных выше физических закономерностях микромира.