
- •Министерство образования и науки рф
- •1.2.Краткие исторические сведения
- •2.Основные понятия теории вероятностей
- •2.1.Событие. Вероятность события
- •2.2.Непосредственный подсчет вероятностей
- •2.3.Основные формулы комбинаторики
- •2.3.Частота и статистическая вероятность события
- •2.4.Случайная величина
- •3.Основные теоремы теории вероятностей
- •3.1. События как множества и операции над ними
- •3.2.Теорема сложения вероятностей
- •3.3.Теорема умножения вероятностей
- •3.4.Формула полной вероятности.
- •3.5.Формула Бейеса или теорема гипотез.
- •Случайные величины и их законы распределения
- •4.1.Ряд распределения
- •4.2.Функция распределения
- •4.3.Плотность распределения
- •5.Числовые характеристики случайных величин
- •5.1.Характеристики положения
- •5.2.Моменты, дисперсия, квадратичное отклонение
- •5.3.Закон равномерной плотности
- •5.4.Распределение Симпсона
- •5.5.Биномиальное распределение
- •5.6.Распределение Пуассона
- •5.7.Геометрическое распределение
- •5.5.Биномиальное распределение
- •5.6.Распределение Пуассона
- •5.7.Геометрическое распределение
- •5.8.Распределение Паскаля
- •5.9.Гипергеометрическое распределение
- •5.10.Формула Стирлинга
- •6.Непрерывные распределения
- •6.1.Нормальное распределение
- •6.2.Показательное распределение
- •6.3.Логарифмически нормальное распределение
- •7.Статистическая оценка параметров распределения
- •7.1.Статистическая функция распределения
- •7.2.Статистический ряд. Гистограмма
- •7.3.Числовые характеристики распределения
- •7.4.Оценка параметров распределения
- •7.4.1. Метод моментов.
- •8.Метод наибольшего правдоподобия
- •8.1.Случай дискретных распределений
- •8.2.Случай непрерывных распределений
- •8.3.Другие методы оценки параметров
- •9.Проверка статистических гипотез
- •9.1.Вводные замечания
- •9.2.Проверка гипотезы о законе распределения
- •10.Системы случайных величин
- •10.1.Понятие о системе случайных величин
- •10.2.Двумерные случайные величины и их законы распределения
- •10.3.Плотность распределения двумерной случайной величины
- •10.4. Условные законы распределения
- •10.5.Зависимость и независимость случайных величин
- •10.6.Числовые характеристики двумерных случайных величин
- •11.Двумерный нормальный закон распределения
- •12.Числовые характеристики функций случайных величин
- •12.1.Математическое ожидание и дисперсия функции
- •12.2.Теоремы о числовых характеристиках
- •13.Распределение функции случайных аргументов
- •13.1.Распределение функции одного аргумента
- •13.2.Распределение суммы случайных величин
- •13.3.Распределение суммы нормально распределенных случайных величин
- •13.Распределение функции случайных аргументов
- •13.1.Распределение функции одного аргумента
- •13.2.Распределение суммы случайных величин
- •13.3.Распределение суммы нормально распределенных случайных величин
- •14.Предельные теоремы
- •14.1.Понятие о законе больших чисел
- •14.2.Неравенство Чебышева
- •14.3.Закон больших чисел Чебышева
- •14.4.Центральная предельная теорема
13.Распределение функции случайных аргументов
13.1.Распределение функции одного аргумента
В предыдущей лекции мы определяли числовые характеристики функций от случайных аргументов. Но в некоторых случаях требуется знать и закон распределения функции от случайных аргументов.
Предположим по-прежнему, что между X и Y существует функциональная связь
(13.1.1)
и
функция
непрерывна, дифференцируема и монотонно
возрастающая. Пусть
и
-
функции распределения и плотности
распределенияX
и Y
соответственно,
тогда вероятность того, что
равна вероятности того, что
(см.рис.13.1.1), то есть
. (13.1.2)
Рис.13.1.1. Иллюстрация к выводу формулы (13.1.3).
Если разрешить функцию (13.1.1) относительно x , то есть
и подставить в правую часть (13.1.2), то получим, что
.
Дифференцируя полученное выражение по y, получаем:
.
Если функция (13.1.1) монотонно убывающая, то аналогичные рассуждения приводят к формуле
.
Обе эти формулы можно записать единообразно так:
. (13.1.3)
Пример
1. Пусть
,
тогда
.
Подставляем полученные результаты в (13.1.3) и получаем, что
.
Пример
2. Определим
распределение случайной величины Y
,
если известно, что
иX
имеет
плотность распределения
В
данном случае
.
,
y>0
.
13.2.Распределение суммы случайных величин
Рассмотрим случай, когда третья случайная величина Z является суммой двух независимых случайных величин X и Y, то есть
.
Плотности
этих величин
соответственно. Плотность распределенияZ
.
(13.2.1)
Этот интеграл называется сверткой или композицией плотностей и обозначается следующим образом:
.
Таким образом, если независимые случайные величины суммируются, то их плотности распределения свертываются.
Это правило распространяется на сумму любого числа независимых слагаемых. То есть, если
,
то
.
Пример. Определим плотность распределения суммы двух равномерно распределенных величин X1 и X2 c плотностями:
После
подстановки этих плотностей в (13.2.1) и
интегрирования в предположении
получаем
, что
Эта
плотность называется трапециодальной
(см. рис.13.2.1). Если
,
то трапеции вырождается в равнобедренный
треугольник и соответствующая плотность
называется плотностью Сипсона.
Рис.13.2.1.Трапециодальное распределение – свертка двух равномерных распределений.
13.3.Распределение суммы нормально распределенных случайных величин
Если
, X
и Y
независимы
и нормально распределены с плотностями
то
сумма
Z
будет распределена тоже нормально с
плотностью
,
где
.
Этот
факт доказывается непосредственным
интегрированием интеграла сверстки
(13.2.1) после подстановки
и
.
Справедливо и более общее утверждение: если
, (13.3.1)
где
иb-
константы, а Хi
–
независимые нормально распределенные
случайные величины со средними значениями
и дисперсиями
,
тоY
будет распределено тоже нормально со
средним значением
(13.3.2)
и дисперсией
. (13.3.3)
Отсюда вытекает, что если суммируются независимые нормально распределенные случайные величины, то сумма будет иметь тоже нормальное распределение с математическим ожиданием, равным сумме математических ожиданий слагаемых и дисперсией, равной сумме дисперсий слагаемых. То есть, если
,
то
. (13.3.4)
13.Распределение функции случайных аргументов
13.1.Распределение функции одного аргумента
В предыдущей лекции мы определяли числовые характеристики функций от случайных аргументов. Но в некоторых случаях требуется знать и закон распределения функции от случайных аргументов.
Предположим по-прежнему, что между X и Y существует функциональная связь
(13.1.1)
и
функция
непрерывна, дифференцируема и монотонно
возрастающая. Пусть
и
-
функции распределения и плотности
распределенияX
и Y
соответственно,
тогда вероятность того, что
равна вероятности того, что
(см.рис.13.1.1), то есть
. (13.1.2)
Рис.13.1.1. Иллюстрация к выводу формулы (13.1.3).
Если разрешить функцию (13.1.1) относительно x , то есть
и подставить в правую часть (13.1.2), то получим, что
.
Дифференцируя полученное выражение по y, получаем:
.
Если функция (13.1.1) монотонно убывающая, то аналогичные рассуждения приводят к формуле
.
Обе эти формулы можно записать единообразно так:
. (13.1.3)
Пример
1. Пусть
,
тогда
.
Подставляем полученные результаты в (13.1.3) и получаем, что
.
Пример
2. Определим
распределение случайной величины Y
,
если известно, что
иX
имеет
плотность распределения
В
данном случае
.
,
y>0
.