2.4.Случайная величина

Случайная величина – это важнейшее понятие теории вероятностей. Случайной величинойназывается величина, которая в результате опыта может принимать то или иное заранее не известное значение. Если возможные значения можно пронумеровать, то случайная величина называетсядискретной, если значением случайной величины может быть любое действительное число в заданном диапазоне, то случайную величину называютнепрерывной.

Например:

• число бракованных деталей в партии из M деталей – дискретная (целочисленная) случайная величина, она может принимать значения 0, 1, 2,…,M;

• диаметр обработанной детали на станке автомате является непрерывной случайной величиной, так как может принимать любые значения в пределах поля допуска и за пределами поля допуска, в случае бракованной детали;

• случайное событие тоже можно рассматривать как дискретную случайную величину, которая может принимать только два значения: 0 – если в результате опыта событие не произошло, и 1 – если событие произошло.

3.Основные теоремы теории вероятностей

3.1. События как множества и операции над ними

Ранее было отмечено, что элементарные события образуют множество, а все прочие события это подмножества основного множества. В связи с этим к событиям применимы известные операции из теории множеств. Рассмотрим некоторые из них, так как с их помощью рассчитываются, как будет показано в дальнейшем, вероятности сложных событий.

Если элементарное событие апринадлежит некоторому подмножествуА, то это символически изображается так:

,

если ане принадлежит этому множеству, то пишут

.

Событие A состоит в том, что в результате опыта, произошло одно из элементарных событий, принадлежащих множествуA.

Пишут, если все элементарные события, принадлежащиеB,принадлежат иA. Это значит, что если в результате опыта произошло событиеB,то произошло и событиеA, так как реализация любого элементарного события из множества B,означает, что произошло событиеB, но так как это элементарное событие принадлежит иA, то произошло иA.

Суммойилиобъединениемдвух событийAиB является третье событиеC, которое состоит в выполнении событияA, или событияB, или событияA иB одновременно.Обозначается эта операция символом + или, то есть,

или .

Графически эта операция иллюстрируется на рис.3.1 а.

Рис.3.1.Иллюстрация операций над множествами событий. а – сложение событий – объединение множеств;б – произведение событий – пересечение множеств;в –разность событий – разность множеств.

Суммой нескольких событийназывается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Например, при обработке партии из пяти деталей возможны такие события:

A₀- брак деталей отсутствует;

A₁- брак только одной детали;

A₂– брак двух деталей;

A₃ – брак трех деталей;

A₄ – брак четырех деталей;

A₅ – брак всех пяти деталей.

То есть множество элементарных событий, образующих полную группу событий опыта

.

Событие

-

означает, что в партии не более двух бракованных деталей.

Событие

-

означает, что в партии имеются бракованные детали.

Произведением двух событийАиВявляется третье событиеD, состоящее в том, что в результате опыта появляются одновременно и событиеАи событиеВ. Это значит, что множествоС образуется как пересечение множествА иВ (см. рис.3.1б). В виде формул произведение записывается так:

или .

Произведением нескольких событийназывается событие, состоящее в совместным появление всех этих событий.

В том же примере с партией из пяти деталей, событие

означает, что одновременно появляются события и ВиС, а это возможно, если в партии одна или две бракованные детали, так как пересечением множествВиС включает событияА₁ иА₂. То есть.

Разностьюдвух событийАиС называется событиеЕ,состоящее в том, что в результате опыта произошло событиеАи не произошло событиеВ. Это значит, что произошло одно из элементарных событий, входящих вА, но не входящих вВ (см. рис.3.1в). В виде формулы эта операция записывается так:

.

В том же примере с партией из пяти деталей

.

Обратнымпо отношению к событиюА называют событие, состоящее в том, что в результате опыта событиеАне произошло. В виде формулы это утверждение можно записать так (см. рис.3.2):

.

Рис.3.2.Иллюстрация обратного события.

Например, в том же примере с партией деталей событие

,

так как , а событие

.

С помощью рассмотренных операций можно определять любые сложные события и в дальнейшем определять их вероятности.

Рассмотрим более сложный случай. На станке обрабатываются три детали. Пусть D₁,D₂,D₃ – события, состоящие в том, что бракованной является первая деталь, вторая деталь, третья деталь соответственно. Определим событиеF, состоящее в том, что одна из трех деталей окажется бракованной.

Полная группа элементарных событий образует следующее множество

Здесь - события, обратныесоответственно.

Искомое событие

.