Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТВиМС / Конспект_.doc
Скачиваний:
118
Добавлен:
10.05.2015
Размер:
3.17 Mб
Скачать

5.7.Геометрическое распределение

Геометрическое распределение выражается следующим образом:

(5.7.1)

Название распределения связано с тем , что вероятности при различных n образу-ют геометрическую прогрессию со знаменателем , равнымq=1-p. Действительно

.

Параметр p имеет смысл вероятности. Пусть при повторении опыта событиеАимеет вероятностьp, тогда число опытовXдо первого появления событияА как раз определяется выражением (5.7.1). Действительно, вероятность того, что в первыхn-1 опытах событиеА не произойдет, равна(1-p)n-1 .А вероятность появления его приn-ом испытании равнаp.Отсюда получаем, что вероятность реализации такой серии событий равна.

Математическое ожидание

.

Дисперсия

.

5.8.Распределение Паскаля

Распределение Паскаля дискретной случайной величины Хвыражается так:

, (5.8.1)

где pиk– параметры распределения. Параметрpимеет смысл вероятности, то есть. Параметрk– целое положительное число.

Математическое ожидание

.

Дисперсия

.

Это распределение связано, как и геометрическое, с повторением опытов.

Если pвероятность событияА в одном опыте, то до появления этого событияkраз потребуется всегоk+xиспытаний, где конкретное значениеx имеет вероятность (5.8.1).

Это распределение обобщает геометрическое распределение. То есть если k=1, то распределение Паскаля совпадает с геометрическим. Действительно, если в (5.8.1) подставитьk=1, то получим

,

что совпадает с геометрическим распределением (5.7.1), если положить, что

x=n-1

и учесть , что .

5.9.Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины Хвыражается так:

, (5.9.1)

где N,n,k– целые положительные величины, играющие роль параметров распределения, причем,.

Это выражение уже встречалось нам раньше в связи с выборкой размера n из партии деталей размеромN, в которойk-число дефектных деталей. Тогдаx- число дефектных деталей в выборке изn деталей, а (5.9.1) – вероятность этого значения.

Математическое ожидание

.

Дисперсия

.

5.10.Формула Стирлинга

При расчетах вероятностей в дискретных распределениях часто приходится вычислять выражение n!, например,

.

Стирлинг вывел удобную для практических расчетов приближенную формулу

. (5.10.1)

Эта формула особенно удобна при больших nно она дает хорошее приближения и при малыхn.На пример приn=2n!=2, а формула (5.10.1) дает значение 1.9. Приn=4 точное значение 4!=24, а приближенное 23.5. Приn=8 8!=40320 а приближенное значение 39902.4 с относительной ошибкой 0.01.

6.Непрерывные распределения

6.1.Нормальное распределение

Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Он характеризуется плотностью вероятности вида:

Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный холмообразный вид (см. рис.6.1.1)

Рис.6.1.1. Графики плотности нормального распределения при различных значениях квадратичного отклонения .

Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке ; по мере удаления от точкиmплотность распределения падает и стремится к оси абсцисс.

Докажем, что m- есть математическое ожидание, а– есть среднее квадратическое отклонение. Для этого вычислим основные числовые характеристики случайной величиныХ.

Применим замену переменной

Первый интеграл равен нулю. Второй представляет собой интеграл Эйлера-Пуассона:

Следовательно, . На практике параметрmчасто называют центром рассеивания.

Вычислим дисперсию Х:

Та же замена переменной:

Интегрирование по частям дает D(X)

Первое слагаемое равно нулю, второе , откуда

Геометрический смысл: m– центр симметрии кривой плотности распределения;- характеризует степень рассеивания случайной величины и одновременно расплывчатость кривой, поскольку площадь, ограниченная кривой плотности всегда равна единице. Размерностьmисовпадает с размерностью случайной величиныХ.Выведем общие формулы для центральных моментов любого порядка.

Делаем замену переменной

Интегрируем по частям:

Первый член в скобках равен нулю. Получаем:

Но момент степени S-2:

Следовательно

Т. е. можно выражать чётные моменты через моменты на 2 порядка ниже. Нечетные моменты в силу симметрии распределения равны нулю. Т. е. для чётных моментов имеем:

Общая формула для момента порядка Sпри чётномS:

,

где под понимается произведение всех нечётных чисел от 1 доS-1.

Асимметрия:

Эксцесс:

Т.е. эксцесс характеризует крутость конкретного закона распределения по отношению к нормальному.

Вычислим вероятность попадания случайной величины Х, подчинённой нормальному закону с параметрамиm,на участок отдо.

где F(x)– функция распределения величины Х.

Замена переменной

Этот интеграл сложный, но существуют специальные таблицы для функций:

Ф*есть нормальная функция распределения. Её таблицы приведены в приложениях учебников и задачников.

Свойства функции Ф*:

Учитывая последнее свойство, рассмотрим вероятность попадания на участок, симметричный, относительно математического ожидания.

*

Решим следующую задачу. Отложим от математического ожидания четыре отрезка длиной и вычислим вероятность попадания случайной величины Х в каждый из них.

Вероятностью попадания в четвёртый участок уже практически можно пренебречь. Сумма же вероятностей для первых трёх равна 0,5 с точностью до 0,01 (1%). Т. е. можно сказать, что в интервале укладывается практически всё рассеивание. Такой способ оценки диапазона возможных значений называетсяправилом трёх сигм. Это правило позволяет грубо оценить величину. Берут максимально возможное отклонение и делят его на три.

Часто (особенно в артиллерийской практике) для характеристики рассеяния кроме среднего квадратичного отклонения используют вероятное (срединное) отклонение, обозначается Е или В.

Вероятным (срединным) отклонениемслучайной величины Х, распределённой по нормальному закону, называется половина длины участка, симметричного относительно центра рассеивания, вероятность попадания в который равна 0,5.

Т. е. вероятность попадания в интервал равна 0,5.

Выразим Е через :

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке ТВиМС