8.3.Другие методы оценки параметров

Метод сравнения квантилей. При этом методе уравнения для оценки параметров составляют путем сравнения квантилей статистического и теоретического распределений. Если распределение имеет один параметр, то достаточно сравнить статистическуюи теоретическуюмедианы. Напоминаем, что медиана – это квантиль порядка 0.5. Таким образом, в этом случае параметр оценивается путем решения уравнения

.

Напоминаем, что находится из уравнения

,

а

,

то есть - средний член вариационного ряда, если Nнечетно,и

,

если N четно.

Пример 1. Пусть случайная величинаXпоказательное распределение, то есть

,

тогда aнаходится из уравнения

,

а именно

.

Если параметров два, то приравниваются значения двух квантилей, например,

.

Напоминаем, что квантиль порядка γопределяется из уравнения

.

Пример 2. Случайная величинаXимеет функцию распределения

,

тогда для оценки параметров ρ,αполучаем систему из двух уравнений:

которая легко решается. Этот метод в данном случае приводит к более простому решению, чем метод моментов или метод наибольшего правдоподобия. Следует однако отметить, что с точки зрения точности оценки параметров этот метод уступает методу наибольшего правдоподобия.

Метод вероятностной бумаги.

9.Проверка статистических гипотез

9.1.Вводные замечания

Одной из основных задач математической статистики является задача проверки статистических гипотез. Существо этой задачи поясним на примере. Предположим, что мы хоти проверить, свидетельствуют ли опытные данные о том, что событие A имеет вероятностьp=0.5., если в результатеn=280 испытаний событиеАпроявилосьm=151 раз. Среднее значение (математическое ожидание) числа опытов для событияA

,

а квадратичное отклонение

,

если p=0.5.

Требуется определить, можно ли наблюденную частоту событияA m^*=151 достаточно близкой к теоретической норме, отвечающей гипотезе. Для ответа на поставленный вопрос, нужно обоснованно выбрать границы допустимых при нашей гипотезе отклонений частот от математического ожидания, выход за которые можно считать практически невозможными, если гипотеза верна. Выход за эти границы будет свидетельствовать, что принятая гипотеза p=0.5 ошибочна. То есть отклонение частоты от математического ожидания значимо. Если отклонение не выходит за отмеченные границы, то мы вправе считать, что опыт не противоречит нашей гипотезе и наблюденное отклонение объясняется случайностью испытания.

Обычно в качестве практически невозможных отклонений принимают такие отклонения, вероятность которых не превышает 0.05 или 0.01 или другое значение. Такую вероятность называют уровнем значимости.Отвечающие этому уровню границы отклонений называют границамикритической области. Сама критическая область соответствует значениям отклонений, выходящим за отмеченные границы, а область внутри границ называетсяобластьюпринятиягипотезы. Само правило проверки гипотезы называетсякритериемзначимости.

Ошибки, возникающие при проверке статистической гипотезы, могут быть двух типов:

I– можно ошибочно отвергнуть гипотезу, если она верна;

II– можно ее ошибочно принять, когда она неверна.

Эти ошибки называются соответственно ошибками первого и второго рода. Вероятность ошибки первого рода равна уровню значимости. Если β- вероятность ошибки второго рода, то величину 1-β называютмощностью критерия. Таким образом, мощность критерия, это вероятность принятия гипотезы, если она верна.

Продолжим рассмотрение примера. Границы области принятия гипотезы определим с учетом того, что вероятность конкретного числа реализаций M=mсобытияAприn испытаниях подчиняется биномиальному распределению:

Если уровень значимости принять равным 0.05, то возможные отклонения от среднего значения определяются в результате решения уравнения

.

Это уравнение удобно решать, используя аппроксимацию биномиального распределения нормальным при тех же среднем значении и квадратичном отклонении. Если воспользоваться таблицей для квантилей нормированного нормального распределения, то получим, что для вероятности квантиль равна.

Таким образом, область допустимых значений определяется границами

.

В нашем примере m^*=151, что меньше 140+16.4=156.4 и больше 140-16.4=123.6. Это значит, что опытные данные не противоречат гипотезе . Вероятность ошибки при этом равна 5%.

Если уровень значимости принять , то, а область допустимых значений определяется границами

.

Из этих данных видно, что если гипотеза p=0.5 верна, то отклонениеm^* отnp в пяти случаях из 100 может превышать 16.4 и в одном случае из 100 может превышать 21.6. В нашем случае отклонениенаходится в области допустимых значений, вследствие чего нет оснований считать гипотезуp=0.5 противоречащей наблюдениям.