- •Министерство образования и науки рф
- •1.2.Краткие исторические сведения
- •2.Основные понятия теории вероятностей
- •2.1.Событие. Вероятность события
- •2.2.Непосредственный подсчет вероятностей
- •2.3.Основные формулы комбинаторики
- •2.3.Частота и статистическая вероятность события
- •2.4.Случайная величина
- •3.Основные теоремы теории вероятностей
- •3.1. События как множества и операции над ними
- •3.2.Теорема сложения вероятностей
- •3.3.Теорема умножения вероятностей
- •3.4.Формула полной вероятности.
- •3.5.Формула Бейеса или теорема гипотез.
- •Случайные величины и их законы распределения
- •4.1.Ряд распределения
- •4.2.Функция распределения
- •4.3.Плотность распределения
- •5.Числовые характеристики случайных величин
- •5.1.Характеристики положения
- •5.2.Моменты, дисперсия, квадратичное отклонение
- •5.3.Закон равномерной плотности
- •5.4.Распределение Симпсона
- •5.5.Биномиальное распределение
- •5.6.Распределение Пуассона
- •5.7.Геометрическое распределение
- •5.5.Биномиальное распределение
- •5.6.Распределение Пуассона
- •5.7.Геометрическое распределение
- •5.8.Распределение Паскаля
- •5.9.Гипергеометрическое распределение
- •5.10.Формула Стирлинга
- •6.Непрерывные распределения
- •6.1.Нормальное распределение
- •6.2.Показательное распределение
- •6.3.Логарифмически нормальное распределение
- •7.Статистическая оценка параметров распределения
- •7.1.Статистическая функция распределения
- •7.2.Статистический ряд. Гистограмма
- •7.3.Числовые характеристики распределения
- •7.4.Оценка параметров распределения
- •7.4.1. Метод моментов.
- •8.Метод наибольшего правдоподобия
- •8.1.Случай дискретных распределений
- •8.2.Случай непрерывных распределений
- •8.3.Другие методы оценки параметров
- •9.Проверка статистических гипотез
- •9.1.Вводные замечания
- •9.2.Проверка гипотезы о законе распределения
- •10.Системы случайных величин
- •10.1.Понятие о системе случайных величин
- •10.2.Двумерные случайные величины и их законы распределения
- •10.3.Плотность распределения двумерной случайной величины
- •10.4. Условные законы распределения
- •10.5.Зависимость и независимость случайных величин
- •10.6.Числовые характеристики двумерных случайных величин
- •11.Двумерный нормальный закон распределения
- •12.Числовые характеристики функций случайных величин
- •12.1.Математическое ожидание и дисперсия функции
- •12.2.Теоремы о числовых характеристиках
- •13.Распределение функции случайных аргументов
- •13.1.Распределение функции одного аргумента
- •13.2.Распределение суммы случайных величин
- •13.3.Распределение суммы нормально распределенных случайных величин
- •13.Распределение функции случайных аргументов
- •13.1.Распределение функции одного аргумента
- •13.2.Распределение суммы случайных величин
- •13.3.Распределение суммы нормально распределенных случайных величин
- •14.Предельные теоремы
- •14.1.Понятие о законе больших чисел
- •14.2.Неравенство Чебышева
- •14.3.Закон больших чисел Чебышева
- •14.4.Центральная предельная теорема
7.2.Статистический ряд. Гистограмма
При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи статистического материала - она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке - строится так называемый «статистический ряд».Предположим, что в нашем распоряжении результаты наблюдений непрерывной случайной величиныХ, оформленные в виде простой статистической совокупности. Разделим весь диапазон наблюдённых значений наинтервалыили«разряды» и подсчитаем количество значенийNi, приходящееся на каждыйi-й разряд. Это число разделим на общее число наблюденийNи найдем частоту, соответствующую данному разряду:
Если разделить частоту на длину соответствующего интервала, то получим статистическую плотность
,
являющейся аналогом математической плотности распределения f(x).
Статистический ряд обычно представляется в виде следующей таблицы:
N интерв. |
1 |
2 |
… |
i |
… |
k |
Интервал |
x0,x1 |
x1,x2 |
… |
xi-1,xi |
… |
xk-1,xk |
Число случаев |
N1 |
N2 |
|
Ni |
|
Nk |
Частота |
P1* |
P2* |
… |
Pi* |
… |
Pk* |
Плотость |
… |
… |
Статистический ряд часто также оформляется графически в виде так называемой гистограммы.Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются разряды, и на каждом из разрядов как их основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Для построения гистограммы нужно частоту каждого разряда разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам.
Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь её равна единице.
Пример.1.Приведем гистограмму для длительностей простоя станков с числовым программным управлением (ЧПУ)TВв связи с восстановлением отказов, построенную по данным статистического ряда, приведенного в ниже следующей таблице. Объем выборкиN=193 достаточно большой, поэтому данные приведены в табл.7.2.1 в сгруппированном виде. Длина интервала 30 мин. Число интерваловk=15.
Таблица 7.2.1
Статистический ряд простоев станков с ЧПУ
N инт. |
Интервал, мин |
Число случаев |
Частота |
Плотность, 1/мин |
1 |
0; 30 |
57 |
0.295 |
0.0098 |
2 |
30; 60 |
71 |
0.368 |
0.0122 |
3 |
60; 90 |
17 |
0.088 |
0.0029 |
4 |
90; 120 |
11 |
0.057 |
0.0019 |
5 |
120; 150 |
6 |
0.031 |
0.0010 |
6 |
150; 180 |
5 |
0.026 |
0.0009 |
7 |
180; 210 |
3 |
0.016 |
0.0005 |
8 |
210; 240 |
4 |
0.021 |
0.0007 |
9 |
240; 270 |
3 |
0.016 |
0.0005 |
10 |
270; 300 |
4 |
0.021 |
0.0007 |
11 |
300; 330 |
2 |
0.010 |
0.0003 |
12 |
330; 360 |
5 |
0.026 |
0.0009 |
13 |
360; 390 |
3 |
0.016 |
0.0005 |
14 |
390; 420 |
1 |
0.005 |
0.0002 |
15 |
420; 450 |
1 |
0.004 |
0.0002 |
По данным таблицы построен полигон распределения (рис.7.1.1) и гистограмма (рис.7.1.2).
Рис.7.1.1.Полигон распределения
Рис.7.2.2. Гистограмма статистического распределения.
Очевидно, что при увеличении числа опытов можно выбирать всё более и более мелкие разряды; при этом гистограмма будет всё более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, равную единице. Нетрудно убедиться, что эта кривая представляет собой график плотности распределения величины Tв.
Пользуясь данными статистического ряда, можно приближённо построить и статистическую функцию распределения величины Tв . Построение точной статистической функции распределения с несколькими сотнями скачков во всех наблюденных значениях трудоёмко и себя не оправдывает. Для практики обычно достаточно встроить статистическую функцию распределения по нескольким точкам. В качестве этих точек удобно взять границы разрядов, которые фигурируют в статистическом ряде. В этом случае
.
Соединяя полученные точки ломаной линией или плавной кривой, получим приближённый график статистической функции распределения. На рис.7.2.3 приведен такой график статистической функции распределения, построенный по данным табл.7.2.1.
Рис.7.2.3.График статистической функции распределения.