5.7.Геометрическое распределение

Геометрическое распределение выражается следующим образом:

(5.7.1)

Название распределения связано с тем , что вероятности при различных n образу-ют геометрическую прогрессию со знаменателем , равнымq=1-p. Действительно

.

Параметр p имеет смысл вероятности. Пусть при повторении опыта событиеАимеет вероятностьp, тогда число опытовXдо первого появления событияА как раз определяется выражением (5.7.1). Действительно, вероятность того, что в первыхn-1 опытах событиеА не произойдет, равна(1-p)^n-1 .А вероятность появления его приn-ом испытании равнаp.Отсюда получаем вероятность реализации такой серии событий равна.

Математическое ожидание

.

Дисперсия

.

5.5.Биномиальное распределение

Дискретная случайная величина X, принимающая значения x_m=m,где

m=0,1,…,n,имеет биномиальное распределение, если вероятности её значений определяются следующей формулой:

. (5.5.1)

Здесь

-

число сочетаний из nпоm, а параметрp имеет смысл вероятности, то есть.

Это распределение связано с повторением опытов. Если в результате опыта событие Аимеет вероятностьpи опыт повторяетсяn раз, то вероятность того, что это событие произойдетm раз, рана. Действительно, конкретная реализацияnиспытаний, в которых событиеAпроизошлоmраз, а противоположное событиесоответственноn-mраз, имеет вероятность. Ноmсобытий средиn испытаний могут распределитьсяравновозможными способами. Отсюда и получается формула (5.5.1).

Сумма

,

так как q=1-p а. Выражениеявляется членом разложения бинома Ньютона(p+q)ⁿ ,поэтому это распределение называется биномиальным.

Математическое ожидание

. (5.5.2)

Дисперсия

. (5.5.3)

Квадратичное отклонение

. (5.5.4)

Если nустремить к бесконечности и одновременноpк нулю так, чтобы выполнялось соотношение

,

где а положительная константа, то в пределе

,

а это известное распределение Пуассона. То есть в пределе при ибиномиальное распределение совпадает с распределением Пуассона.

5.6.Распределение Пуассона

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …

Говорят, что случайная величина Храспределена позакону Пуассона, если вероятность того, что она примет определённое значениеm, выражается формулой

где а– некоторая положительная величина, называемаяпараметром распределения Пуассона.

Ряд распределения по закону Пуассона:

	0	1	2	…	m
				…

Убедимся, что суммарная вероятность равна единице.

Но

Следовательно

Рис.5.6.1. Полигон распределения Пуассона.

Вычислим вероятность того, что Хокажется больше 0:

Математическое ожидание

Т.е. параметр а - есть математическое ожидание.

Дисперсия

Но

Следовательно .

.

Вывод. Дисперсия равна математическому ожиданию. Это свойство часто используют для определения, распределена ли случайная величина Х по закону Пуассона.

Рассмотрим типичную задачу. Пусть на оси Охслучайным образом распределяются точки. Пусть распределение удовлетворяет следующим условиям:

4. Вероятность попадания какого-либо числа точек в отрезок lзависит только от длины отрезка, но не от положения на оси. На единичный отрезок попадает в среднемточек.

5. Точки распределяются независимо.

6. Вероятность совпадения двух точек равна нулю (чем точки ближе, тем вероятность меньше).

Выделим на оси отрезок длиной lи рассмотрим дискретную случайную величинуХ– число точек, попадающих в этот отрезок. Возможные значенияХ: 0, 1, 2, …,m, …

Докажем, что случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на участок lпопадётmточек.

На участок хпопадётхточек. Это математическое ожидание. Поскольку участокхмал, то попадание двух точек в один отрезок пренебрежимо мало ихесть вероятность попадания одной точки на участокх.

Пусть существует число n,такое, что . Тогда вероятность попадания в один отрезок равна. А вероятность попадания вmотрезков равна

Обозначим , тогда

.

Что и требовалось доказать.

Мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где точки располагаются случайно друг от друга и подсчитывается их количество, попавшее в какую-то область. Мы рассмотрели одномерный случай, но его легко можно распространить на любую размерность. Например, если для отрезка оси параметр аравен, то для плоского случая(здесьS- площадь области), а для объёмного(V– объём области).

Докажем, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения.

Причём параметр .

Предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:

Если подставить , то получим

,

что уже было доказано. При большом nприближённо вероятность можно считать:

.

Из-за малой вероятности события закон Пуассона носит название “закона редких явлений”.