2.3.Основные формулы комбинаторики

Комбинаторикаизучает количества комбинаций, которые можно составить из заданных элементов произвольной природы при различных условиях. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики, аналогичные тем, что в предыдущих примерах. Приведем здесь наиболее употребительные из них.

Перестановками называются комбинации, составленные из одних и тех жеm различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок изm элементов

. (2.3)

Для подсчетаm! при большомm полезна приближенная формула Стирлинга:

.

Размещенияминазываются комбинации, составленные изmразличных элементов поn, которые отличаются либо порядком, либо составом элементов. Число всех возможных размещений

. (2.4)

Пример 1. Определим, сколько вариантов будет иметь выборка двух деталей из партии 10 деталей с учетом порядка их обработки на станке. В данном случае мы имеем размещения по 2 детали из 10 и

.

Сочетанияминазываются комбинации, составленные изmэлементов поn, которые отличаются хотя бы одним элементом. Порядок элементов здесь не учитывается. Число сочетаний

. (2.5)

Пример 2. Определим, сколько вариантов будет иметь выборка двух деталей из партии 10 деталей без учета порядка их обработки на станке. В данном случае мы имеем сочетания по 2 детали из 10 и

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны соотношением:

.

Если множество из m элементов содержитm₁элементов первого типа,m₂элементов второго типа и так далее (, то число перестановок

. (2.6)

При решении задач комбинаторики пользуются следующими правилами.

Правило суммы.Если некоторый объектa может быть выбран из совокупности m способами, а другой объект может быть выбран из этой совокупностиn способами, то выбрать либоа либоbможноm+n способами.

Правило произведения.Если некоторый объектa может быть выбран из совокупности m способами, а другой объектb может быть выбран из другой совокупностиn способами, то выбрать пару объектов (а ,b)можноmn способами.

2.3.Частота и статистическая вероятность события

Предыдущие формулы для вероятностей событий оказались возможными, так как вероятности элементарных событий удается рассчитать благодаря их равновозможности, вытекающей из симметричности исходов опыта. Однако требование равновозможности исходов опыта обычно не выполняется и соответственно формулой (2.1) воспользоваться нельзя. Монета может быть не совсем симметричной, а игральная кость - со смещенным центром тяжести и т.д. Вероятность соответствующего события в этом случае оценивают по частоте его реализации при многократном повторении опыта.

Если производится M испытаний и событиеAреализовалосьNраз, то очевидно, что вероятность событияA

. (2.3)

Величину принято называтьстатистической вероятностью. Эта величина при малом количестве опытов может существенно отклоняться от вероятности, но с ростом числа опытов она все точнее характеризует вероятность. То есть с ростомM ,однако эта сходимость не обычная, её принято называтьсходимостью по вероятности.

ВеличинаX_M сходится по вероятности кa, если при сколь угодно малом вероятность неравенствас увеличениемMнеограниченно приближается к единице.

Так определенная вероятность имеет смысл применять только для массовых явлений, так как здесь она может быть оценена из опыта.

Существует другая трактовка вероятности как степени уверенности в том, что конкретное событие должно произойти. Такая вероятность называетсясубъективной, если понятие частоты проявления для её определения не применимо. В данном курсе такая трактовка вероятности не рассматривается.