Предел функции |
41 |
4.6. Неопределенность вида 0/0 |
|
Пусть α (x) è β (x) бесконечно малые функции, т. е.
lim α (x) = 0, |
lim β (x) = 0. |
x→a |
x→a |
В этом случае нельзя высказать никакого общего утверждения о пределе отношения этих функций при x → a. В зависимости от вида функций α (x) è β (x) ýòîò ïðå-
дел может быть конечным, равным бесконечности или вовсе не существовать. Именно поэтому в такой ситуации говорят о неопределенности вида 0/0.
Рассмотрим серию типичных примеров на раскрытие неопределенности данного вида. При их решении используются формулы из главы 11 (ñòð. 165).
Пример 4.6.1.
lim |
x2 − 2x − 3 |
= lim |
(x − 3) (x + 1) |
= lim (x + 1) = 4. |
|
x − 3 |
x − 3 |
||||
x→3 |
x→3 |
x→3 |
Пример 4.6.2.
lim |
x2 + 6x − 7 |
|
= lim |
(x − 1) (x + 7) |
= lim |
x + 7 |
= |
∞ |
. |
|
|
|
|||||||
x→1 (x − 1)2 |
x→1 (x − 1)2 |
x→1 x − 1 |
|
|
|||||
В этих примерах квадратный трехчлен, стоящий в числителе, был разложен на множители. После сокращения под знаком предела получается функция, предел которой легко вычисляется. Этот прием является стандартным для многих примеров на неопределенность данного вида, поскольку он позволяет сократить именно те множители, которые и порождают неопределенность.
При решении следующих примеров также проводится устранение неопределенности путем сокращения множителей.
Пример 4.6.3.
lim |
x3 − 8 |
= lim |
(x − 2) (x2 + 2x + 4) |
= lim |
x2 + 2x + 4 |
= |
12. |
|
x2 − 5x + 6 |
(x − 2) (x − 3) |
x − 3 |
||||||
x→2 |
x→2 |
x→2 |
|
− |
Пример 4.6.4.
lim |
x2 − 9 |
= lim |
(x − 3) (x + 3) |
= lim |
x − 3 |
= |
− |
2 |
. |
x3 + 27 |
(x + 3) (x2 − 3x + 9) |
x2 − 3x + 9 |
|
||||||
x→−3 |
x→−3 |
x→−3 |
|
9 |
|||||
Предел функции |
42 |
Пример 4.6.5.
lim |
x3 + 64 |
= |
lim |
(x + 4) (x2 − 4x + 16) |
= |
lim |
x2 − 4x + 16 |
= 24. |
|
2x + 8 |
2 (x + 4) |
2 |
|||||||
x→−4 |
|
x→−4 |
|
x→−4 |
|
Пример 4.6.6.
lim |
1 − sin x |
= lim |
|
1 − sin x |
= lim |
1 |
|
|
= |
|
1 |
. |
||||||||||||
|
cos2 x |
1 − sin2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→π2 |
|
x→π2 |
|
|
|
|
x→π2 |
1 + sin x |
|
2 |
||||||||||||||
Пример 4.6.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
sin2 x |
|
|
sin2 x |
|
1 |
|
|
sin x |
1 |
· |
0 |
|
||||||||||
lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
= |
|
|
|
= 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|||||||||||||
x 0 |
sin 2x |
x 0 2 sin x cos x = |
2 x |
→ |
0 |
2 |
1 |
|
||||||||||||||||
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Примеры, рассматриваемые ниже, содержат иррациональность в числителе или знаменателе. В этом случае для раскрытия неопределенности часто достаточно просто умножить числитель и знаменатель на так называемое сопряженное выражение.
Например, чтобы избавиться от иррациональности вида √a ± √b, достаточно умно-
жить числитель и знаменатель на |
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b, а затем использовать формулу |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
± √ |
|
√ |
|
|
|
√ |
|
= √ |
|
|
2 − √ |
|
2 = a − b. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Если же иррациональность имеет вид 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b, |
|
то следует умножить числитель и зна- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
менатель на |
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√a± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a |
2 |
3 |
|
|
|
|
b + |
|
|
2 |
, |
|
|
а затем использовать формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√a |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
√3 |
|
|
± √3 |
|
√3 |
|
|
√3 |
|
|
√3 |
|
|
+ √3 |
|
|
= √3 |
|
3 ± √3 |
|
|
3 = a ± b. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
a2 |
b |
b2 |
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
a |
a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.6.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
→ 2 |
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
→ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + √x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + √x + 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x 0 |
− |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
− |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
= x 0 |
4 |
− |
(x + 4) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
+ 4 = −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + |
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 4.6.9. |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
2 + |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
√4 + x2 − √4 − x2 |
= lim |
|
|
|
√4 + x2 − √4 |
− x2 |
|
|
|
|
√4 + x2 + √4 − x2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
√ |
|
|
|
x2 + √4 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
− (4 − x |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 x2 |
√4 + x2 + |
√4 − x2 |
|
|
|
|
x→0 x2 |
√4 + x2 + |
√4 − x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
43
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 4.6.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
√4 + x2 + √4 − x2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − tg x |
1 + tg x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
− √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
1 − tg x |
1 + tg x |
|
1 − tg x |
1 + tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= x |
→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
1 + tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
tg x |
|
|
(1 + tg x) |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
x |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
√ |
|
|
|
|
|
|
+ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 + tg x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
→ |
|
sin 2 |
tg1x− tg |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 + tg |
|
1 |
|
|
|
|
→ |
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − tg |
|
sin x |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
2 lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
2 lim |
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 sin x cos x · 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→π sin 2x |
|
· x→π |
√1 − tg x + √1 + tg x |
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
1 |
lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.6.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x→π cos2 x |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
3 |
|
− |
|
|
|
|
= x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√x 1 |
|
|
|
|
|
|
( |
3 |
|
x |
|
− 1) |
|
|
√3 |
x |
|
+ |
|
3 |
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ (x − 1) √ |
|
|
+ √3 |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→1 (x − 1) √3 |
x2 |
+ √3 |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
√3 x2 + √3 |
x |
+ 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.7. Неопределенность вида ∞/∞
Пусть каждая из функций A (x) è B (x) является бесконечно большой (стремится
к бесконечности) при x → a. Здесь, как и в предыдущем разделе, вопрос о существо-
вании предела отношения функций A (x) è B (x) ïðè x → a зависит от вида этих
функций. В этом случае говорят о неопределенности вида ∞/∞.
Рассмотрим примеры на раскрытие неопределенности этого вида. В них для устранения неопределенности часто достаточно разделить числитель и знаменатель выра-
жения, стоящего под знаком предела, на x в наивысшей степени, а затем отбросить
бесконечно малые слагаемые.
Пример 4.7.1.
|
3x5 |
− |
2x3 |
+ 7x + 1 |
|
3 − 2xx53 |
+ 7xx5 |
+ |
1 |
|
|
||||
lim |
= lim |
x5 |
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
2x |
|
|
|
6 |
|
||||
x→∞ 9x5 − 3x4 + 2x − 6 |
x→∞ 9 − |
3x |
+ |
|
− |
|
|
||||||||
x5 |
x5 |
x5 |
|
|
|||||||||||
Предел функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
3 − |
2 |
+ |
|
7 |
|
+ |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
. |
= lim |
x2 |
x4 |
x5 |
|
= |
= |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||
x→∞ 9 − x3 + |
− |
|
|
|
9 |
|
3 |
|
||||||||
x4 |
x5 |
|
|
|
||||||||||||
В данном примере мы разделили каждое слагаемое числителя и знаменателя на
1
x5. Далее мы воспользовались свойствами пределов и учли, что xk беско- нечно малая функция при x → ∞ для любого k > 0. Последнее означает, что
lim 1 = 0.
x→∞ xk
Пример 4.7.2.
2x3 |
− |
3x2 + 5 |
|
|
|
2xx43 |
− 3xx42 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − |
3 |
|
+ |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x4 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→∞ x4 + 2x − 1 |
x→∞ |
|
|
x |
+ |
|
2x |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 1 + |
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x4 |
x4 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.7.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 + 4x3 + 2x |
|
|
|
|
|
|
x44 + |
4x43 + 2x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 4 |
|
+ |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
= lim |
|
x |
|
x |
|
|
x |
|
= lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 2x − 5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
x→∞ |
x |
+ |
|
2x |
|
− |
5 |
|
|
|
|
x→∞ |
+ |
− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x4 |
x4 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= xlim |
1 + |
x |
+ |
x3 |
|
· |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
= ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ x3 |
− x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
→ 1 ïðè x → ∞, а функция |
|||||||||||||||||||||||
В данном примере мы учли, что функция 1+ |
|
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1
x12 + x23 − x54
является бесконечно большой при x → ∞. Поэтому их произведение есть бесконечно большая функция при x → ∞.
Пример 4.7.4.
xlim |
|
|
2 |
− − |
|
= xlim 5 |
|
|
|
|
√4x2 |
+3x 7 |
|
= xlim |
q |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
2 |
+2x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
2x |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
− x |
2 |
|
− |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
+ 2x 1 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
→∞ 5 − |
4x + 3x − 7 |
|
→∞ x − |
|
|
|
|
|
x |
|
− |
x2 |
|
+ x2 |
− x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= xlim q5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4x |
|
|
3x |
|
|
|
|
7 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
7 |
|
= 1 − 3 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
x − q |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 4.7.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(x + 10) (x + 20)2 (x + 30)3 |
= x→∞ |
|
|
|
|
10 |
|
20 |
2 |
|
30 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
1 + |
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Предел функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
x→∞ 1 + |
|
|
x x→∞ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
x→∞ 1 + x |
3 |
= 1 · 1 |
|
· 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
10 |
|
lim |
|
1 + |
20 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 = 1. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 4.7.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x |
− |
1) (3x |
− |
2) (x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xx−1 · 3xx−2 · x+1x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
(3x + 1) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
(3x+1) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
lim |
|
2 − x1 |
|
|
|
3 − x2 |
|
|
|
1 + x1 |
|
|
= |
2 |
3 |
|
|
1 |
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
·33· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= x→∞ |
|
|
3 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.7.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x−5)50 |
|
|
(1−2x)4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
(x − 5) |
· (1 |
− 2x) |
|
|
= lim |
|
x50 |
|
· |
|
|
|
x4 |
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
(x + 6) |
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
(x+6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= lim |
|
1 − x5 |
|
50 · |
|
x1 |
− 2 |
|
4 |
= |
150 |
· (−2)4 |
|
= 16. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.8. Неопределенность вида ∞− ∞
Такие неопределенности обычно раскрываются путем сведения их к неопределенностям вида 0/0 èëè ∞/∞. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 4.8.1.
x→+∞ |
|
|
|
− 3 |
|
+ 7 − |
= x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
√x |
2 − 3x + |
7 + x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
√ |
x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
lim |
|
|
√x2 − 3x + 7 − x |
|
√x2 |
− 3x + 7 + x |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 + x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
−3x + 7 |
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 |
= |
|
|
1, 5. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
→ ∞ |
√x |
2 |
− 3x + 7 + x |
|
→ |
∞ q1 − x3 + x72 + 1 |
|
|
−2 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 4.8.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x + 1) = |
|
|
||||||||||||||
|
x→1 x − 1 − x3 − 1 = x→1 x − 1 − (x − 1) (x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 + x − 2 |
|
|
|
(x − 1) (x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
= 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x − 1) (x2 + x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
x→1 |
(x − 1) (x2 + x + 1) |
|
|
x→1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.8.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sin2 x |
− sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin−2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→0 |
sin2 x − |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos x |
|
ctg2 x |
|
|
|
|
cos x |
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
cos x (1 |
cos x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||