В. В. Колесов, И. В. Моршнева, М. В. Норкин
Высшая математика
Часть I
Функции, пределы, производные
Кафедра вычислительной математики и математической физики ЮФУ, Ростов-на-Дону, 2007 г.
Содержание |
2 |
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Как пользоваться этим учебником . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. О курсе высшей математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Биология, почвоведение и математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Базовые понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Высказывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. Кванторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. Системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5. Абсолютная величина числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1. Величины постоянные и переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Определение функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3. Способы задания функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4. Четная и нечетная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5. Периодическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.6. Ограниченная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.7. Суперпозиция функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.8. Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.9. Неявная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.10. Однозначная и многозначная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.11. Рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.12. Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.1. Определение предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2. Обобщения понятия предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3. Бесконечно малая величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4. Бесконечно большая величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5. Свойства пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Содержание |
|
3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6. Неопределенность вида 0 / 0 |
41 |
|
4.7. Неопределенность вида |
∞/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
4.8. Неопределенность вида |
∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
4.9. Первый замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.10. Второй замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.11. Основные теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.12. Рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.13. Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1. Приращения аргумента и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2. Два определения непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3. Точки разрыва и их классификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.4. Свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.5. Рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.6. Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6. Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.1. Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2. Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.3. Механический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.4. Основные теоремы о производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.5. Производные элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.6. Сводка формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.7. Примеры на вычисление производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.8. Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.9. Рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.10. Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7. Приложения производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.1. Возрастание и убывание функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2. Экстремумы функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке . . . . . . . . . . 123 7.4. График функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.5. Уравнение касательной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Содержание |
4 |
7.6. Приближенные решения уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.7. Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.8. Рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.9. Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.1. Определение дифференциала функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2. Свойства дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.3. Геометрический смысл дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.4. Рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 8.5. Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9. Примеры контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10. Примеры экзаменационных билетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11. Формулы элементарной математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.1. Основные свойства степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2. Формулы сокращенного умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.3. Квадратное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.4. Разложение квадратного трехчлена на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.5. Основные свойства логарифмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.6. Тригонометрические формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 13. Об авторах этого учебника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 14. Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
1 |
Введение |
5 |
|
|
|
"Чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонично сочетать цвета и формы, но лишенному натуры, модели, его творческая сила быстро иссякла бы".
Анри Пуанкаре
1.1. Как пользоваться этим учебником
Этот учебник содержит основные понятия, определения, формулировки и доказательства теорем, а также рекомендации по решению примеров, которые необходимо изу- чить студентам первого курса биолого-почвенного факультета Южного федерального университета в первом семестре.
Для работы с ним на вашем компьютере должна быть установлена операционная система Windows (версия Windows 98 или старше). Для использования средств мультимедиа, интегрированных в учебник, необходимо, чтобы у вас была возможность просмотра html-страниц в браузере, который поддерживает воспроизведение анимационных роликов Macromedia Flash со звуковым сопровождением.
В тексте учебника используются следующие условные обозначения.
Анимация
Кнопка для вызова html-страницы, содержащей анимацию.
Тесты
Кнопка для вызова html-страницы, содержащей тесты.
Введение |
6 |
Чтобы воспользоваться кнопкой, нужно щелкнуть на ее изображении манипулятором "мышь".
Синим цветом в тексте учебника выделены ссылки на другие его части. Щелчок манипулятором "мышь" на выделенном тексте позволяет быстро перейти к работе с фрагментом учебника, соответствующим данной ссылке.
1.2. О курсе высшей математики
Учебная дисциплина "Высшая математика" является базовым общеобразовательным университетским курсом. Для его изучения требуется знание элементарной математики в рамках преподавания этой дисциплины в средней школе, колледже, лицее или техникуме.
В курсе даются начальные сведения из следующих разделов математики: математи- ческий анализ, высшая алгебра, комплексные числа, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика.
Данный курс служит основой для углубленного изучения различных разделов высшей математики на старших курсах, а также применяется во многих спецкурсах, изучаемых студентами биолого-почвенного факультета.
Задачи изучения дисциплины:
•Изучение разделов математического анализа, позволяющих находить пределы
функций, исследовать непрерывность функций, исследовать свойства и поведение функций методами дифференциального и интегрального исчисления.
•Изучение разделов высшей алгебры, связанных с решением систем линейных ал-
гебраических уравнений и отысканием корней полиномов, а также методов работы с векторами и матрицами.
•Изучение комплексных чисел и их использования при решении математических задач.
•Изучение методов решения простейших дифференциальных уравнений.
•Изучение основных методов и подходов при исследовании задач теории вероятностей и математической статистики.
Введение |
7 |
Курс рассчитан на два семестра. В обоих семестрах предусмотрено чтение лекций (одна пара в неделю) и проведение практических занятий (одна пара в неделю).
Распределение материала по семестрам осуществляют преподаватели, проводящие занятия. Как правило, в первом семестре на лекциях и практических занятиях изучаются лишь разделы математического анализа, связанные с понятием функции, теорией пределов, непрерывностью, производной и дифференциалом функции. Именно эти темы и рассматриваются в данном электронном учебнике. Остальные разделы курса изуча- ются во втором семестре.
В конце каждого семестра студенты по данному курсу сдают экзамен. На экзамене оценка выставляется по пятибалльной системе. Для получения оценки "удовлетворительно" необходимо уметь формулировать основные определения и теоремы, изложенные в курсе, и решать простейшие задачи по основным темам курса. Для получения оценки "хорошо" или "отлично" необходимо также уметь доказывать теоремы и решать задачи более высокого уровня сложности по каждой теме курса.
Экзамен проводится в письменной форме. Каждый билет содержит 8 вопросов. Один из них сформулировать и доказать одну из теорем курса, два или три вопроса сформулировать определение или теорему (без доказательства), четыре или пять вопросов решить задачи. Уровень трудности задач, которые предлагаются для решения на экзамене, не превосходит уровня трудности тех задач, которые решались на практических занятиях.
Помимо этого, каждый студент должен самостоятельно выполнить индивидуальные задания (одно задание в семестр). Примерами таких индивидуальных заданий могут служить исследование определенной функции и построение ее графика (задание в первом семестре) и построение методом наименьших квадратов эмпирической формулы, отражающей некоторую экспериментальную зависимость (задание во втором семестре). Отчет по каждому заданию в письменной форме студент представляет преподавателю, проводящему практические занятия. Оценка двухбалльная (зачет или незачет).
На практических занятиях для оценки знаний студентов проводятся контрольные работы по следующему графику.
Введение |
8 |
Тема контрольной работы |
Срок проведения контрольной работы |
Пределы |
Середина октября |
Производные |
Конец ноября |
Интегралы |
Конец февраля |
Дифференциальные уравнения |
Середина апреля |
Теория вероятностей |
Конец мая |
Рабочая программа по учебной дисциплине "Высшая математика" составлена на основе Государственного образовательного стандарта полного высшего профессионального образования по специальностям "Биология" (специальность 020201) и "Почвоведение" (специальность 020701) и относится к циклу естественнонаучных дисциплин.
1.3. Биология, почвоведение и математика
В наше время любое хоть сколько-нибудь серьезное научное исследование в естествознании вообще и в биологии или почвоведении в частности, связанное с накоплением и обработкой экспериментальных данных, совершенно немыслимо без использования теории вероятностей и математической статистики.
Экспериментаторы накапливают колоссальные объемы информации, многократно повторяя свои наблюдения и измерения в разных условиях (меняется температура окружающей среды, влажность, освещенность и т. д.) и добавляя новые объекты наблюдения и параметры измерений (частоту пульса у человека или животного, гранулометрические характеристики почвы, количество взошедших семян и т. п.).
Полученные экспериментальным путем данные накапливаются в виде таблиц, схем, графиков. Это хоть и очень важный, но все-таки лишь предварительный этап науч- ной работы. Самый важный и самый трудный ее этап состоит в обработке накопленных данных, позволяющей осмыслить их и сформулировать те или иные выводы, отделив случайное от закономерного, обнаружить и понять закономерности изучаемого явления. На этом этапе обойтись без математической обработки накопленных результатов методами теории вероятностей и математической статистики практически невозможно.
Серьезная экспериментальная научная работа в биологии и почвоведении представляет собой весьма трудоемкую и дорогостоящую деятельность. Поэтому еще на этапе
Введение |
9 |
планирования эксперимента ученым приходится задумываться о том, как именно следует организовать эксперимент и сколько раз его нужно повторить, чтобы обработка результатов позволила сделать достаточно достоверные и надежные выводы. Полу- чить обоснованные ответы на эти вопросы без помощи математики во многих случаях просто невозможно.
Использование математических методов при планировании и обработке результатов экспериментов, вероятно, самый очевидный, но далеко не единственный пример использования математики в биологии и почвоведении.
В 1931 году крупный итальянский математик Вито Вольтерра опубликовал монографию "Математическая теория борьбы за существование". Он построил математиче- скую модель и на основе ее математического анализа показал, что с помощью дифференциальных и интегральных уравнений можно объяснить достаточно продолжительное совместное существование нескольких биологических сообществ, часть из которых является хищниками по отношению к другим.
Эти исследования нашли многочисленных последователей, труды которых привели к тому, что на стыке двух наук родилась новая научная дисциплина: математическая биология, которая в наше время развивается весьма бурно и успешно, обогащая новыми открытиями не только биологию, но и математику. Чтобы хотя бы осмыслить биологические результаты, полученные учеными в этой области, необходимо, как минимум, свободно владеть основами математического анализа и иметь представление о методах решения дифференциальных уравнений и о свойствах их решений.
Без математики немыслимы и многие научные исследования в почвоведении. Примером здесь может служить гранулометрическая матрица математическая модель, позволяющая судить о типе почвы и ее свойствах по небольшому образцу, взятому в том или ином регионе. Эта модель была разработана на кафедре почвоведения нашего университета.
Разумеется, можно было бы привести и другие примеры весьма успешного использования математики в биологии и почвоведении, но, вероятно, об этом куда интереснее и понятнее, да и более квалифицированно, расскажут преподаватели тех кафедр, на которых студентам предстоит специализироваться на старших курсах.
Анимация
Введение |
10 |
Работая над этим учебником, авторы прекрасно отдавали себе отчет в том, что читать его будут те, кто не собирается далее заниматься математикой на профессиональном уровне. Поэтому мы старались излагать материал ясно и просто, жертвуя иногда строгостью и точностью изложения. Всюду, где это представлялось нам возможным, мы пытались разъяснить новые понятия "на пальцах" и не стремились к максимальной полноте освещения вопроса.
Первокурсники биофака так не поступают.
Авторы искренне благодарны А. А. Алексееву, А. О. Голозубову, С. А. Гуде, В. В. Родоченко и Ю. Ю. Сафоновой, которые прочитали рукопись и сделали ряд полезных замечаний, а также В. И. Манину и Е. И. Манину, которые проверили примеры, имеющиеся в учебнике.