Мы приступаем к изучению основ дифференциального исчисления. Эту тему без преувеличения можно назвать самой важной темой всего курса высшей математики. В рамках этой темы мы рассмотрим такие основополагающие понятия, как производная и дифференциал функции, а также изучим их основные свойства.

Идеи дифференциального исчисления зародились еще в XV II веке в работах двух

великих ученых Ньютона и Лейбница. Эти идеи получили очень мощное развитие в исследованиях их многочисленных последователей, прежде всего, математиков и физиков, и привели к значительным открытиям в самых различных разделах естествознания, в том числе в биологии и почвоведении.

6.1. Определение производной

Определение 6.1.1.

Производной функции y = f(x) в некоторой фиксированной точке x называется предел отношения приращения функции 4f = f(x + 4x) − f(x) к прира-

щению аргумента 4x, когда последнее стремится к нулю:

Анимация

Замечания.

1.Напомним, что приращение аргумента 4x это просто некоторая переменная величина, имеющая числовые значения. Значению аргумента x соответствует значение функции f(x), а значению аргумента x + 4x соответствует значение

функции f(x + 4x). Разность 4f = f(x + 4x) − f(x) между этими двумя зна- чениями функции и называется ее приращением, соответствующим приращению аргумента 4x.

2.Предел, который используется в данном определении, может и не существовать (см. замечания на стр. 36). В этом случае говорят, что в данной точке x произ-

водная функции y = f(x) не существует (см. пример 6.1.3 íà ñòð. 75).

3.Для простоты мы опустили в этом определении требование, чтобы функция f(x)

была определена на некотором интервале (a, b), содержащем точку x. Îíî íåîá-

ходимо, чтобы мы имели право рассматривать значение функции в точке x+4x.

4.Когда значение аргумента x меняется, значение производной f 0(x) также меняется. Поэтому саму производную функции y = f(x) также можно рассматривать как некоторую функцию. При этом, однако, область определения f 0(x) может

оказаться уже, чем область определения f(x), поскольку для каких-то значений аргумента производная может и не существовать.

5.Для производной нередко используются и другие обозначения:

f 0(x) = f 0x(x) = dxdf = dfdx(x).

Такая форма записи предполагает, что мы рассматриваем производную как функцию аргумента x. Если же нам потребуется указать, что производная ищется

для какого-то конкретного значения x0 аргумента x, то мы будем использовать следующие обозначения:

Определение 6.1.2.

Функция y = f(x) называется дифференцируемой в некоторой фиксирован-

ной точке x, если в этой точке она имеет конечную производную. Операция нахождения производной при этом называется дифференцированием функции.

Рассмотрим три примера, которые демонстрируют технику вычисления производной с помощью определения 6.1.1.

Пример 6.1.1.

Пусть f(x) = x. Тогда 4f = f(x + 4x) − f(x) = x + 4x − x = 4x, а следова-

Рис. 6.2.1. Секущая ML и касательная к кривой, проведенная в точке M.

Когда 4x → 0, точка L, двигаясь вдоль кривой, стремится к точке M. Ïðè ýòîì

секущая ML, меняя свой наклон к оси абсцисс, приближается к касательной к кри-

âîé y = f(x), проведенной в точке M. Это означает, что тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс находится по формуле

tg α = lim 4f .

4x→0 4x

Применяя определение производной 6.1.1, приходим к выводу, что тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функции y = f(x), проведенной в точке

с координатами (x, f(x)), совпадает со значением производной данной функции в этой точке, т. е.

tg α = f 0(x).

Эта формула и определяет геометрический смысл производной. Она позволяет сделать весьма важный вывод: чем быстрее растут или убывают значения функции при

изменении значений ее аргумента, тем больше будет абсолютная величина тангенса

угла наклона касательной. Значит, производная характеризует скорость изменения функции при изменении ее аргумента.