Предел функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
= lim |
cos x (1 − cos x) |
= lim |
|
|
cos x |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 + cos x |
|
|
|
|
||||||||||
Пример 4.8.4. |
|
x→0 |
1 − cos2 x |
|
x→0 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 |
− |
cos x) ctg2 x = lim |
(1 − cos x) cos2 x |
= lim |
|
2 sin2 |
x2 |
cos2 x |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
||||||||||
x→0 |
|
x→0 |
sin2 x |
|
|
|
x→0 4 sin2 |
cos2 x2 |
||||||||||||
|
|
|
1 |
cos2 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
lim |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 x→0 |
cos2 x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.9. Первый замечательный предел
Некоторые пределы в математическом анализе встречаются столь часто, что их называют замечательными. Один из них называется первым замечательным пределом.
lim sin x = 1.
x→0 x
С его помощью раскрываются неопределенности вида 0/0 è 0 · ∞, содержащие раз-
личные тригонометрические функции и степени переменной x. Рассмотрим примеры, в которых применяется первый замечательный предел.
Пример 4.9.1. |
sin kx |
|
|
|
lim |
|
(k = 0) . |
||
x |
||||
x→0 |
6 |
|||
Для вычисления такого предела сделаем замену переменной t = kx. В результате
получим |
sin kx |
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
||
lim |
= lim |
= |
k |
· |
lim |
|
= k |
· |
1 = k. |
|||||||
x |
|
t |
|
t |
||||||||||||
x 0 |
t |
→ |
0 |
|
|
|
t 0 |
|
|
|||||||
k |
|
|
|
|
||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
||||
Пример 4.9.2.
1 |
cos 2x |
x→0 |
2 sin2 x |
x→0 |
sin x |
|
2 |
x→0 |
sin x |
|
2 |
· |
|
|
x→0 |
−x2 |
x2 |
x |
|
x |
|
12 = 2. |
|||||||
lim |
|
|
= lim |
|
= 2 lim |
|
|
|
= 2 lim |
|
|
= 2 |
|
|
В этом примере мы воспользовались формулой понижения степени для тригонометрической функции sin x.
Пример 4.9.3.
|
|
|
|
|
tg 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
+ 5 |
|
5 |
|
|
|
|
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
tg 7x |
|
|
√x + 5 + |
√5 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
√ |
x + 5 |
|
− |
√5 |
= x 0 |
|
√ |
x |
|
|
− |
√ |
|
|
|
√ |
x |
|
|
|
+ |
√5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
sin 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
· x→0 |
|
|
|
|
|
cos 7x |
|
|
= 7 · 2 |
5 = 14 |
5 |
|||||||||||||||||||||
lim |
cos 7x |
|
|
|
x + 5 + |
|
5 |
|
|
|
= lim |
sin 7x |
lim |
|
|
|
x + 5 + |
5 |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Предел функции |
47 |
Здесь мы сначала избавились от иррациональности в знаменателе путем умножения на сопряженное выражение. Этот прием мы ранее уже применяли.
Пример 4.9.4.
|
|
|
|
|
|
|
cos π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cos π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
L = lim |
|
2 |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x2 + 3x − 4 |
(x − 1) (x + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→1 |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x→1 |
x + 4 · x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5 · x→1 x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Делая замену переменной |
|
t = x − 1, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
cos π (t + 1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
π t + π |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
sin π t |
|
1 |
|
π |
|
|
|
π |
|||||||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
lim |
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
t |
−5 |
· 2 |
− |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 5 · t→0 |
|
|
5 |
· t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· t→0 |
|
|
|
10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.9.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L = lim |
arcsin (x − 2) |
= lim |
arcsin (x − 2) |
= lim |
arcsin (x − 2) |
|
lim |
|
1 |
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x − 2) (x + 2) |
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
x2 − 4 |
x→2 |
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
· x→2 x + 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
arcsin (x − 2) |
|
· |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Сделаем замену α = arcsin (x − 2) . Отсюда следует, что |
x − 2 = sin α. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = |
|
|
1 |
lim |
|
|
α |
|
|
= |
|
|
1 |
|
· |
1 = |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 4.9.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
= lim |
|
|
|
x |
|
|
|
= |
x→0 |
|
|
|
x |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 5x |
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sin 5x |
|
|
x→0 |
|
|
|
lim |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.9.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (x + h) − sin (x − h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= lim |
sin x cos h + cos x sin h − sin x cos h + cos x sin h |
= lim |
2 cos x sin h |
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
h→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h→0 |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 2 cos |
x lim |
sin h |
= 2 cos x |
· |
1 = 2 cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h→0 |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В этом примере мы воспользовались формулами синуса суммы и разности двух углов, но могли бы применить и формулу разности синусов ( см. главу 11, ñòð. 165).
Отметим, что здесь функция, стоящая под знаком предела, зависит от двух переменных x è h, но предел рассматривался по переменной h. Поэтому 2 cos x
мы вынесли за знак предела как величину, которая не зависит от h.
Предел функции |
48 |
4.10. Второй замечательный предел
Следующий предел называется вторым замечательным пределом.
lim 1 + 1 n = e.
n→∞ n
Значением этого предела является число e. Это число является иррациональным. Оно
приближенно равно 2, 71828...
Делая замену α = n1 , получаем другую форму записи второго замечательного предела
1
lim (1 + α)α = e.
α→0
С помощью этих формул раскрываются неопределенности вида 1∞. Рассмотрим примеры, в которых применяется второй замечательный предел.
Пример 4.10.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
L = lim |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
α = |
3 . Отсюда сле- |
||||||||||||||||
Для нахождения этого предела сделаем замену переменной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
äóåò, ÷òî n = 3 . Подставляя вместо |
|
n |
его выражение через |
|
α, |
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e3. |
||||||||||
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
L = lim (1 + α)α = lim |
|
(1 + α)α |
|
|
|
|
lim (1 + α)α |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.10.2. |
|
|
|
|
|
|
1 − 5n |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
L |
|
lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
||||||
Делая замену m = −5n, выражая |
|
n через |
|
|
m по формуле |
|
n = − |
, получаем |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
−52 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m |
|
−52 |
|
|
|
|
|||||||||||
m→∞ 1 + m |
|
|
|
|
= m→∞ 1 + m |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
L = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= m→∞ 1 + m |
m |
|
− |
52 |
|
= |
= √5 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−52 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 4.10.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
L |
|
lim |
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Предел функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
||
Делая замену |
α = |
2 |
, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
L |
= |
lim (1 + α) |
|
|
|
|
+4 = lim (1 + α) |
|
|
|
· |
(1 + α)4 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
α |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= α→0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = e2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 + α)α |
|
|
|
lim (1 + α)4 = e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.10.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = lim (1 |
− |
|
|
|
2−x |
= lim (1 |
− |
|
|
2 |
− |
1 |
|
|
lim (1 |
|
− |
|
|
|
2 |
· |
(1 |
− |
3x)− |
1 |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3x) x |
3x)x |
|
|
|
|
3x)x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim (1 |
|
3x)x |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
· x→0 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Учитывая, что |
lim |
|
|
|
|
|
|
= 1, |
|
и делая замену |
α = |
− |
3x, |
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−6 |
|
e− |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
L = lim (1 + α)−α = |
lim (1 + α)α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.10.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = lim |
|
|
4x − 2 |
|
3x |
= lim |
|
|
4x + 3 − 3 − 2 |
|
|
3x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
4x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4x + 3) |
|
|
|
5 |
|
|
3x |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= x→∞ |
|
4x + 3− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Сделаем замену α = − |
|
|
|
. Тогда |
|
4x + 3 = − |
|
|
, |
|
а значит, x = − |
|
− |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x + 3 |
|
α |
|
4α |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя вместо |
|
x |
его выражение через |
|
α, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
L = lim (1 + α)−415α −49 |
|
lim (1 + α)−415α |
· (1 + |
|
α |
) |
− |
49 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
α |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= α |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
−154 |
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 |
· |
√4 e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= lim (1 + α)α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 + α)−4 |
= e− 4 |
|
1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.10.6.
L = lim n[ln (n + 4) − ln n].
n→∞
Используя свойства логарифмов ( см. главу 11, стр. 165), получаем
n→∞ |
|
n + 4 |
|
n |
n→∞ |
n + 4 |
|
n |
= ln n→∞ |
4 |
|
n |
|||
n |
|
n |
|
|
n |
|
|||||||||
L = lim ln |
|
|
|
|
|
= ln lim |
|
|
|
|
lim |
1 + |
|
|
. |
Делая замену α = n4 , приходим к окончательнлму результату
4 |
|
1 |
|
|
4 |
||
|
|
|
α→0 |
|
|
|
= ln e4 = 4. |
α→0 |
|
||||||
L = ln lim (1 + α)α = ln |
lim (1 + α)α |
|
|||||