В основе всей системы математических знаний лежат две дисциплины: теория множеств и математическая логика. Это весьма непростые и очень абстрактные разделы математики, серьезное изучение которых необходимо лишь тем, кто занимается ею на профессиональном уровне. В нашем учебнике будут использоваться лишь некоторые базовые понятия теории множеств и математической логики, которые обычно знакомы (иногда под другими названиями) тем, кто изучал школьный курс элементарной математики.

2.1. Множества

В математике, как и в любом другом разделе науки, есть некоторое количество понятий, с которых, собственно, и начинается ее изучение. Дать строгие определения этим понятиям невозможно. Считается, что они ясны нам на уровне интуиции. К таким неопределяемым понятиям относится и понятие множества.

Любое множество состоит из некоторого количества элементов, упорядоченность которых не предполагается. Это количество, вообще говоря, может быть любым, в том числе и нулевым.

Рис. 2.1.1. Множество студентов, успешно сдавших экзамен по высшей математике, содержит конечное число элементов.

Множество, содержащее конечное число элементов, часто записывают с помощью фигурных скобок, внутри которых перечисляются элементы множества, например, так: {Маша, Петя, Вася}.

Определение 2.1.1.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозна- чается .

Примеры множеств.

1.Множество студентов, обучающихся на биофаке ЮФУ, содержит конечное число элементов.

2.Множество вещественных чисел содержит бесконечное число элементов.

3.Множество преподавателей, которые ведут занятия по математике на биофаке и имеют более двух ушей, является пустым.

4.Числовые промежутки (a, b) è [a, b] являются множествами, содержащими бес-

конечное число элементов. Первый из них называют интервалом или открытым промежутком, второй сегментом или замкнутым промежутком. Сегмент содержит свои концы, а интервал не содержит.

Тот факт, что некоторый элемент x принадлежит множеству X, можно записать так:

x X.

Работая с множествами как с отдельными объектами, можно выполнять следующие две основные операции: пересечение и объединение множеств. Существуют и другие операции с множествами (например, разность, дополнение, декартово произведение), но они нам не понадобятся.

Определение 2.1.2.

Пересечением множеств A è B называется множество C = A ∩ B, которое

состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A,

и множеству B.

Рис. 2.1.2. Пересечение множеств A è B.

Определение 2.1.3.

Объединением множеств A è B называется множество C = A B, которое

состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств.

Рис. 2.1.3. Объединение множеств A è B.

Определение 2.1.4.

Множество A называется вложенным во множество B, åñëè A содержит только те элементы, которые принадлежат B. Åñëè A вложено в B, то говорят, что A является подмножеством B. Записывают это так: A B. Åñëè ýòè

два множества могут еще и совпадать, то пишут так: A B.

Рис. 2.1.4. Множество A является подмножеством множества B.

Примеры.

3.Множество натуральных (положительных целых) чисел является подмножеством множества вещественных чисел.

4.Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел дает множество вещественных чисел.

5.Пересечение множеств рациональных и иррациональных чисел дает пустое множество.

Общепринятые обозначения числовых множеств.

R множество вещественных чисел.

Z множество целых чисел.

N множество натуральных (положительных целых) чисел.