Предел функции |
36 |
Замечания.
1.Слова "предел не существует" иногда содержат некоторую двусмысленность. В математической литературе их обычно употребляют не только, когда найти
предел нельзя, но и в случае, когда в результате вычисления предела получа- ется +∞ èëè −∞. Мы тоже будем далее придерживаться этого соглашения,
а в случае необходимости говорить о существовании конечного или бесконечного предела.
2.Помимо предела функции, в теории пределов рассматривается также и предел числовой последовательности. Это понятие дается в школе. Числовую последовательность можно рассматривать как имеющую вещественные значения функцию, определенную на множестве натуральных чисел. Это позволяет распространить, иногда с небольшой коррекцией, на последовательности те утверждения о пределах (и не только о них), которые в нашем курсе формулируются для функций. Мы не будем далее отдельно изучать этот вопрос, ограничившись рассмотрением лишь небольшого количества примеров.
Примеры отыскания предела последовательности.
1. lim 5 = 0.
n→∞ n
2. lim n2 = ∞.
n→∞
3. lim (5 + sin 1 ) = 5.
n→∞ n3
4.3. Бесконечно малая величина
Роль бесконечно малых функций в теоретических направлениях естествознания переоценить трудно, но мы в нашем курсе будем использовать их скорее как вспомогательный инструмент, существенно упрощающий доказательства многих теорем о пределах.
Определение 4.3.1.
Функция α (x) называется бесконечно малой ïðè x → a, åñëè lim α (x) = 0.
x→a
Предел функции |
37 |
Замечание.
Это определение пригодно и в случае, когда a = ±∞.
Пример.
Функция α (x) = x2 − 4 есть бесконечно малая при x → −2 è ïðè x → 2, íî íå
является таковой, когда ее аргумент x стремится к любому другому значению.
Сформулируем сначала важнейшие из свойств бесконечно малых функций в максимально простом виде (без особых формальностей). В разделе 4.11 они даются в виде теорем с доказательствами.
Свойства бесконечно малых.
1.Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
2.Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
3.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция. В частности, произведение бесконечно малой функции на постоянную функцию есть бесконечно малая функция.
4.Бесконечно малая при x → a функция ограничена, по крайней мере, при x,
близких к a.
Замечание.
Здесь предполагается, что все функции, о которых идет речь, являются бесконечно малыми, когда их аргументы стремятся к одному и тому же значению a, конечному или бесконечному.
Перечисленные выше свойства позволяют складывать, вычитать и умножать бесконеч- но малые величины, зная заранее, что в результате получится бесконечно малая вели- чина. Что же касается операции деления (ее часто называют сравнением), то с ней все обстоит гораздо сложнее: результат такой операции предсказать заранее нельзя. Он может оказаться любым. Мы еще вернемся к этой проблеме, рассматривая вопрос о раскрытии неопределенностей (см. п. 4.6 4.10).
Предел функции |
38 |
Определение 4.3.2.
Пусть функции α(x) è β(x) являются бесконечно малыми при x → a, причем существует конечный предел отношения
lim α(x) = A.
x→a β(x)
1.Åñëè A = 0, то говорят, что порядок бесконечно малой α(x) выше порядка бесконечно малой β(x). Этот факт записывается так: α = o(β).
2.Åñëè A 6= 0, то говорят, что бесконечно малые α(x) è β(x) имеют одинаковый порядок. Этот факт записывается так: α = O(β) èëè β = O(α).
3.Åñëè A = 1, то говорят, что бесконечно малые α(x) è β(x) эквивалентны. Этот факт записывается так: α β.
Замечание.
Если окажется, что предел отношения, которое фигурирует в данном определении, равен ∞ èëè −∞, то нужно просто "перевернуть" эту дробь и рассмотреть
предел отношения β(x) ê α(x). Окажется, что он равен нулю и можно будет
говорить, что порядок бесконечно малой β(x) выше порядка бесконечно малой
α(x).
Примеры.
1.Ïðè x → 0 порядок бесконечно малой α(x) = x2 выше порядка бесконечно малой β(x) = x, поскольку
lim |
α(x) |
= lim |
x2 |
= lim x = 0. |
||
β(x) |
|
x |
||||
x→0 |
x→0 |
x→0 |
||||
2.Функции α(x) = x − 3 è β(x) = 3 − x являются бесконечно малыми одного порядка при x → 3, поскольку
lim |
α(x) |
= lim |
x − 3 |
|
= |
− |
1. |
β(x) |
|
||||||
x→3 |
x→3 3 − x |
|
|
||||
3.Функции α(x) = 6(x −3) è β(x) = x2 −9 являются эквивалентными бесконечно малыми при x → 3, поскольку
lim |
α(x) |
= lim |
6(x − 3) |
= lim |
6 |
|
= 1. |
|
β(x) |
x2 − 9 |
x + 3 |
||||||
x→3 |
x→3 |
x→3 |
|
|||||
Предел функции |
39 |
4.4. Бесконечно большая величина
Определение 4.4.1.
Функция f(x) называется бесконечно большой ïðè x → a, åñëè lim f(x) = ∞
x→a
(+∞ èëè −∞).
Замечания.
1.Это определение пригодно и в случае, когда a = ±∞.
2.Если бесконечно большая функция f(x) при всех значениях x, достаточно близ-
êèõ ê a, принимает только положительные значения, то пишут |
lim f(x) = + |
∞ |
|
èëè f(x) → +∞ ïðè x → a. |
x→a |
|
|
|
|
|
|
3. Если бесконечно большая функция f(x) при всех значениях x, достаточно близ- |
|||
êèõ ê a, принимает только отрицательные значения, то пишут |
lim f(x) = |
−∞ |
|
èëè f(x) → −∞ ïðè x → a. |
x→a |
||
|
|
|
|
Нетрудно видеть, что между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями |
||||||||||
имеется следующая связь. |
|
|
||||||||
Функция, обратная бесконечно большой, есть функция бесконечно малая, т. е. |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
lim |
|
|
|
= 0, |
åñëè lim f(x) = |
. |
||||
|
||||||||||
x |
→ |
a f(x) |
|
|
x a |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
Функция, обратная бесконечно малой, есть функция бесконечно большая, т. е. |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
lim |
|
|
= |
, åñëè lim α(x) = 0 è α(x) = 0 ïðè x, близких к a. |
||||||
|
||||||||||
x→a α(x) |
|
x→a |
|
6 |
||||||
4.5. Свойства пределов
Сформулируем важнейшие из свойств, которые используются при вычислении пределов, в максимально простом виде (без особых формальностей). В разделе 4.11 некоторые из них даются в виде теорем с доказательствами.
Пусть функции u = u (x) è v = v (x) имеют конечные пределы при x → a. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Предел постоянной равен самой постоянной: lim c = c, ãäå c = const.
x→a
Предел функции |
40 |
2. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов:
lim(u ± v) = lim u ± lim v.
x→a |
x→a x→a |
3. Предел произведения функций равен произведению их пределов:
lim u · v = lim u · lim v.
x→a x→a x→a
4. Предел отношения функций равен отношению их пределов: |
|||||||||
|
|
|
u |
|
lim u |
|
|
|
|
lim |
= |
x→a |
, åñëè |
lim v = 0. |
|||||
|
|||||||||
x |
→ |
a v |
|
lim v |
|
x a |
6 |
||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
||
x→a
5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim c · u = c · lim u, ãäå c = const.
x→a x→a
6.Если предел функции при x → a существует, то он единственный: функция не может стремиться к нескольким различным значениям, когда x → a.
7. Если предел функции при x → a существует, то в некоторой окрестности точки
a(см. определение 3.2.2 на стр. 21) данная функция является ограниченной.
8.Любую конечную степень можно выносить за знак предела:
b
|
lim ub = |
lim u |
, |
b |
|
R |
|
|
|
|
x→a |
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Предел от логарифма функции равен логарифму ее предела: |
|
|||||||
|
lim logb u = logb |
lim u, |
åñëè |
lim u > 0. |
|
|
|||
|
x→a |
|
x→a |
|
|
|
x→a |
|
|
10. |
В общем случае при переходе к пределу строгое неравенство заменяется нестро- |
||||||||
|
ãèì: åñëè |
u > v |
ïðè âñåõ |
x, достаточно близких к a, òî |
lim u > lim v. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
x→a |
11. |
Åñëè lim u > lim v, |
òî ïðè âñåõ x, достаточно близких к |
a, выполняется нера- |
||||||
|
x→a |
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
венство u(x) > v(x).
Замечания.
1. Эти свойства справедливы и в случае, когда a = ±∞.
2. Свойство 10 объясняет, откуда появилось ограничение lim u > 0 в свойстве 9. Са-
x→a
ма функция u положительна (поскольку она находится под знаком логарифма),
но мы должны застраховаться от случая, когда в результате перехода к пределу она обратится в ноль.