Пример 6.7.34.

Пусть f(x) = xx, x > 0. Мы не можем сразу искать производную данной функ-

ции, поскольку она является одновременно показательной и степенной. Чтобы привести ее к чисто показательной функции, воспользуемся основным логарифмическим тождеством (см. формулу (5.5) на стр. 167) и представим данную функ-

öèþ â âèäå f(x) = eln xx = ex ln x. Теперь можно дифференцировать данную функцию как сложную функцию.

Пример 6.7.35.

Аналогичный прием позволяет найти производную и следующей функции:

С помощью основного логарифмического тождества представим ее в виде

f(x) = ecos x ln sin x + esin x ln cos x.

Дифференцируя данную функцию как сложную функцию, получаем

f 0(x) = ecos x ln sin x h− sin x ln sin x + cos xcossin xxi +

+esin x ln cos x cos x ln cos x + sin x− sin x = cos x

= (sin x)cos x − sin x ln sin x + cos2 x + sin x

+ (cos x)sin x cos x ln cos x − sin2 x = cos x

1+cos x 2 − − 1+sin x 2 −

= (sin x) ctg x ln sin x (cos x) tg x ln cos x .

6.8. Производные высших порядков

Определение 6.8.1.

Производной второго порядка дифференцируемой функции y = f(x) в некоторой фиксированной точке x называется производная ее производной.

f 00(x) = (f 0(x)) 0 = lim f 0(x + 4x) − f 0(x).

4x→0 4x

Замечания.

1.Предел, который используется в данном определении, может и не существовать (см. замечания на стр. 36). В этом случае говорят, что в данной точке x вторая

производная функции y = f(x) не существует.

2.Для простоты мы опустили в этом определении требование, чтобы функция f(x) и ее производная f 0(x) были определены на некотором интервале (a, b), содер-

жащем точку x.

3. Для второй производной нередко используются и другие обозначения:

f 00(x) = d2f = d2f(x). dx2 dx2

Аналогично вводится понятие третьей производной (это производная второй производной), четвертой производной (это производная третьей производной) и т. д.

В общем случае производной n го порядка называется производная производной

(n − 1) го порядка. Она обозначается следующим образом:

f(n)(x) = dnf = dnf(x). dxn dxn

Мы не будем заниматься теорией производных высших порядков, ограничившись рассмотрением некоторого количества простых примеров.

Пример 6.8.1.

Пусть f(x) = sin2 x. Требуется найти ее вторую производную. Для этого мы

сначала ищем первую производную f 0(x) = 2 sin x cos x = sin 2x, а затем, продифференцировав ее, получаем и вторую производную f 00(x) = 2 cos 2x.

Пример 6.8.2.

Пусть f(x) = tg 4x. Требуется найти ее вторую производную.

Пример 6.8.3.

Пусть f(x) = cos2 x. Требуется найти ее третью производную.

f 0(x) = 2 cos x(− sin x) = − sin 2x; f 00(x) = −2 cos 2x; f 000(x) = 4 sin 2x.

Пример 6.8.4.

Пусть f(x) = x ln x. Требуется найти ее третью производную.

Пример 6.8.5.

6.9. Рекомендации

Студентам, испытывающим серьезные трудности при изучении курса высшей математики, рекомендуется в первую очередь разобрать следующие вопросы.

1.Дать определение производной.

2.В чем состоит геометрический смысл производной?

3.В чем состоит механический смысл производной?

4.Написать основные формулы дифференцирования функций.

5.Привести таблицу производных элементарных функций.

6.10. Вопросы для самоконтроля

1.Дать определение производной.

2.В чем состоит геометрический смысл производной?

Мы рекомендуем студентам следующие примеры решить самостоятельно. Найти производные следующих функций: