Понятие функции является очень важным. Изучению свойств функций и различных операций, которые можно выполнять с функциями, посвящена значительная часть нашего курса.

3.1. Величины постоянные и переменные

Практически в любой математической модели какие-то величины не меняют своих значений. Такие величины называют постоянными или константами. Запись c = const

означает, что величина c является постоянной.

Если же какая-либо величина может принимать различные значения, то она считается переменной.

Обычно у исследователя имеется определенный произвол, когда он решает вопрос о том, что некоторая величина будет рассматриваться как постоянная, или наоборот, как переменная. Во всех случаях, однако, математическая модель будет корректной только при условии, что о каждой использованной в ней величине можно однозначно сказать, является ли она постоянной или рассматривается как переменная.

Пример.

При изучении всхожести семян, посеянных в определенном месте, тип почвы обычно считается постоянной величиной, а количество взошедших семян переменной. Если же изучается зависимость всхожести от типа почвы, то последнюю также нужно считать переменной величиной.

3.2. Определение функции

Определение 3.2.1.

Если задано правило (закон), по которому x D ставится в соответствие един-

ственное значение y E, то говорят, что задана функция y = f(x). Множество

D называется областью определения функции, а E множеством зна-

чений функции.

Замечания.

1.В этом определении x è y, вообще говоря, переменные величины. При этом x

называется независимой переменной или аргументом функции, а y зависимой переменной.

2.Мы ничего не утверждаем здесь о природе множеств D è E. Они совершенно

не обязательно должны быть числовыми. Тем не менее, всюду в дальнейшем мы будем считать эти множества числовыми.

3. Вместо y = f(x) нередко пишут f : D E и говорят, что функция f действует

из множества D во множество E.

3.2.1. График функции y = x2. При рисовании графика соблюдать масштабы не

требуется. Нужно лишь, чтобы рисунок правильно отражал все характерные особенности поведения функции.

Пример.

Правило y = x2 задает квадратичную функцию, для которой в общем случае D

множество вещественных чисел, а E множество неотрицательных вещественных чисел. Если же данная функция используется в некоторой математической модели, для которой x количество подопытных кроликов, нам следует считать,

÷òî D è E представляет собой множество целых неотрицательных чисел.

Этот пример показывает, что корректное применение понятия функции невозможно без четкого указания ее области определения. А вот множество значений функции

фактически задается правилом, отражающим зависимость y îò x.

Если область определения функции не указана, то считается, что подразумевается ее естественная область определения, которая диктуется требованиями математической корректности.

Заметим, что в типичной ситуации допустимо лишь сужение естественной области определения функции, если в том есть нужда при построении какой-либо математиче- ской модели. Так, скажем, нельзя расширить естественную область определения функ-

öèè y = 1/x и считать, что она определена для любых x, поскольку делить на ноль нельзя.

Рассматривая понятия предела и производной, мы нередко будем говорить, что какая-

либо функция определена в некоторой окрестности точки x0. Следующее определение поясняет этот математический термин.

Определение 3.2.2.

Окрестностью точки x0 называется интервал (x0 − δ, x0 + δ), содержащий

данную точку. Здесь δ > 0 некоторое число.

3.3. Способы задания функции

Существуют три основных способа задания функции: аналитический (в виде одной или нескольких формул), графический и табличный.

Пример аналитического задания функции.

Формула y = |sin 5x| задает в аналитическом виде функцию, которая определена

ïðè x.

Заметим, что нарисовать график или построить таблицу значений функции, заданной аналитически, всегда возможно. А вот получить точную аналитическую формулу для функции, заданной графически или в виде таблицы, можно лишь в некоторых простейших случаях.