6.5. Производные элементарных функций

В примерах 6.1.1 6.1.3, рассмотренных выше (см. стр. 74), мы для отыскания производной использовали ее определение. Такой путь решения примеров крайне неэффективен. Гораздо проще сначала вывести формулы для производных элементарных функций, а затем решать примеры, используя эти формулы и основные теоремы о производных, доказанные нами â ï. 6.4 (ñì. ñòð. 79).

Теорема 6.5.1.

Производная функции y = ex находится по формуле y 0 = ex.

Доказательство.

Применяя определение производной, получаем

Нам осталось доказать, что

lim e4x − 1 = 1.

4x→0 4x

Сделаем это, воспользовавшись вторым замечательным пределом (ñì. ñòð. 48).

1

lim (1 + α)α = e.

α→0

Возьмем α = 4x. Тогда предыдущую формулу можно записать в виде

1

e = lim (1 + 4x)4x .

4x→0

Теперь уже нетрудно получить

lim e4x − 1 = lim 1 + 4x − 1 = 1.

4x→0 4x 4x→0 4x

Теорема доказана.

Замечание.

Теорема 6.5.1 указывает причину, по которой функция y = ex играет важную роль в математическом анализе: единственной функцией, производная которой

Пример 6.5.1.

Пусть f(x) = e5x. Тогда по теореме о производной сложной функции (см. теорему

6.4.6 ñòð. 82) f 0(x) = e5x(5x) 0 = 5e5x.

Теорема 6.5.2.

Производная функции y = ax (a > 0, a 6= 1) находится по формуле y 0 = ax ln a.

Доказательство.

Согласно основному логарифмическому тождеству ( см. формулу (5.5) íà ñòð. 167)

a = eln a.

Но тогда

ax = eln ax = ex ln a

представляет собой сложную функцию. Мы можем найти ее производную, применяя теоремы 6.4.6 и 6.5.1.

(ax)0 = ex ln a 0 = ex ln a (x ln a)0 = ax ln a.

Мы использовали здесь тот факт, что x 0 = 1 (ñì. пример 6.1.1 íà ñòð. 74).

Теорема доказана.

Пример 6.5.2.

Пусть f(x) = 25x. Тогда f 0(x) = (25x ln 2) (5x) 0 = 5 · 25x ln 2.

Теорема 6.5.3.

Производная функции y = loga x находится по формуле y 0 = x ln1 a.

Доказательство.

Функции y = loga x è x = ay являются взаимно обратными. Это дает нам возможность применить теорему 6.4.7 (см. стр. 83). В результате получаем

Теорема доказана.

Следствие.

На первый взгляд этот результат может показаться удивительным: куда же делась пятерка? Ситуация проясняется, если решить этот пример по-другому.

Доказательство.

Пусть x > 0. Применяя рассуждения, подобные тем, которые использовались в теореме 6.5.2, получаем

(xa) 0 = eln xa 0 = ea ln x 0 = ea ln x(a ln x) 0 = xa xa = axa−1.

В случае, когда x < 0 èëè x = 0, использованный нами метод доказательства не

годится, поскольку в этом случае при некоторых значениях a выражение ln xa может содержать под знаком логарифма отрицательное или нулевое значение. Примером здесь может служить простейший случай, когда a = 1. Тем не менее,

утверждение данной теоремы справедливо и в этом случае, о чем свидетельствует пример 6.1.1 íà ñòð. 74.

Мы не будем проводить доказательство формулы (xa) 0 = axa−1 для случая,

когда x 6 0, ограничившись замечанием, что данная формула верна для всех

значений x è a, при которых обе ее части определены.

Теорема доказана.

Пример 6.5.4.

Доказательство.

Замечая, что

4y = sin(x + 4x) − sin x = 2 cos x + 4x + x sin 4x, 2 2

получаем, используя первый замечательный предел (ñì. ñòð. 46),

Теорема доказана.

Пример 6.5.5.

Пусть f(x) = sin x2. Тогда f 0(x) = cos x2 · (x2) 0 = 2x cos x2.

Теорема 6.5.6.

Производная функции y = cos x находится по формуле y 0 = − sin x.

Доказательство.

Используя формулы приведения и предыдущую теорему, получаем

Теорема доказана.

Пример 6.5.6.

Пусть f(x) = cos 2x. Тогда f 0(x) = − sin 2x · (2x) 0 = − sin 2x · (2x ln 2).

Теорема 6.5.7.

Доказательство.

Используя формулу дифференцирования дроби, получаем

Теорема доказана.

Пример 6.5.7.

Теорема 6.5.8.

Как и в предыдущей теореме, получаем

Теорема доказана.

Пример 6.5.8.

Доказательство.

Доказательство.

Функции y = arctg x è x = tg y являются взаимно обратными. Следовательно, применяя теорему 6.4.7 (см. стр. 83), получаем

Теорема доказана.