Приложения производной |
138 |
это в некоторой точке x > 3. Простые вычисления показывают, что |
f(4) = −6, |
àf(5) = 10. Значит, наша функция меняет знак внутри интервала 4 < x < 5,
àследовательно, вещественный корень уравнения f(x) = 0 лежит в промежутке
(4, 5). Таким образом, выполненный нами анализ поведения функции помог не только построить ее график, но и найти интервал, внутри которого лежит единственный вещественный корень кубического уравнения x3 − 6x2 + 9x − 10 = 0.
При желании мы могли бы найти приближенное значение этого корня, воспользовавшись методом Ньютона, который рассматривается ниже (см. стр. 140).
Рис. 7.4.6. График функции y = x3 − 6x2 + 9x − 10.
7.5. Уравнение касательной
Когда мы рассматривали геометрический смысл производной ( ñì. ï. 6.2 на стр. 75), мы распространили известное по школьному курсу элементарной математики понятие касательной к окружности на случай достаточно произвольной кривой, являющейся
графиком функции y = f(x). При этом было показано, что тангенс угла наклона
к оси абсцисс касательной к графику функции y = f(x), проведенной в точке M
с координатами (x0, y0) (ãäå y0 = f(x0)) , совпадает со значением производной данной функции, найденной в этой точке, т. е. tg α = f 0(x0).
Приложения производной |
139 |
Рис. 7.5.1. График функции и касательная к нему в точке M.
Выведем теперь уравнение касательной. Поскольку касательная является прямой, ее уравнение имеет вид y = kx + b. Требуется найти коэффициенты k è b этого уравнения.
Очевидно, что точка M(x0, y0) принадлежит касательной y = kx+b. Отсюда следует, что y0 = kx0 + b, а значит, b = y0 − kx0.
Угловой коэффициент |
k прямой y = kx+ b равен тангенсу угла наклона этой прямой |
к оси абсцисс, поэтому |
k = tg α = f 0(x0). Но тогда уравнение касательной имеет вид |
y = f 0(x0)x + y0 − f 0(x0)x0. Это уравнение можно записать в виде
y − y0 = f 0(x0)(x − x0).
Пример 7.5.1.
Требуется написать уравнение касательной к параболе y = 4−x2 в точке ее пере- сечения с осью абсцисс при x > 0 и построить графики функции и касательной.
Решая квадратное уравнение 4 − x2 = 0, находим две точки x1,2 = ±2 пересе- чения параболы y = 4 − x2 с осью абсцисс. Из них нам нужна лишь та, которая
Приложения производной |
|
140 |
является положительной. Она-то и дает абсциссу точки касания, т. е. |
x0 = 2. |
|
Поскольку точка касания лежит на оси абсцисс, ее ордината y0 = 0. |
|
|
Производная функции y = 4−x2 равна y 0 |
= −2x, поэтому f 0(x0) = f 0(2) = −4, |
|
а значит, уравнение касательной имеет вид |
y = −4(x − 2) èëè y = 8 − 4x. |
|
График параболы y = 4 − x2 получается сдвигом на 4 единицы вверх графика |
||
параболы y = −x2. На рис. 7.5.2 изображен график функции y = 4−x2 |
и график |
|
ее касательной y = 8 − 4x, проведенной в точке (2, 0). |
|
|
Рис. 7.5.2. График функции y = 4 − x2 и касательная к нему в точке (2, 0).
7.6. Приближенные решения уравнений
Во многих случаях получить аналитическое решение уравнения вида f(x) = 0 невозможно даже теоретически. В такой ситуации обычно прибегают к различным методам
Приложения производной |
141 |
приближенного вычисления корней. Их используют нередко и тогда, когда решение уравнения теоретически возможно, но это связано со столь технически сложной работой, что более целесообразным является отыскание приближенного решения.
Существует множество самых разнообразных методов получения приближенных решений уравнений вида f(x) = 0, но среди них, безусловно, выделяется метод касатель-
ных, называемый также методом Ньютона. Это достаточно простой в использовании и весьма эффективный метод, обеспечивающий быстрое отыскание корня уравнения
f(x) = 0, ãäå f(x) некоторая дифференцируемая функция. Рассмотрим технику использование данного метода на практике.
Пусть у нас имеется некоторое значение x0, лежащее не очень далеко от интересующего нас корня x = x уравнения f(x) = 0 (ñì. ðèñ. 7.6.1).
Построим касательную к кривой y = f(x) в точке A0(x0, y0), ãäå y0 = f(x0). Как было показано в предыдущем разделе, ее уравнение имеет вид
y − y0 = f 0(x0)(x − x0).
Рис. 7.6.1. Построение итераций по методу Ньютона.
Эта касательная пересекает ось абсцисс в некоторой точке (x1, 0), координаты которой
удовлетворяют уравнению касательной. Подставляя x = x1 è y = 0 в уравнение
Приложения производной |
142 |
||
касательной, получаем |
−y0 = f 0(x0)(x1 − x0), |
||
|
|||
откуда следует, что |
|
f(x0) |
|
|
x1 = x0 − |
||
|
|
. |
|
|
f 0(x0) |
||
На следующем шаге метода Ньютона строим касательную к кривой y = f(x) в точке
A1(x1, y1), ãäå y1 = f(x1). Ее уравнение имеет вид
y − y1 = f 0(x1)(x − x1).
Эта касательная пересекает ось абсцисс в некоторой точке (x2, 0), |
координаты которой |
|||||
удовлетворяют уравнению касательной. Подставляя x = x2 è |
y = 0 в уравнение |
|||||
касательной, получаем |
|
|
|
|||
−y1 = f 0(x1)(x2 − x1), |
|
|||||
откуда следует, что |
|
|
|
f(x1) |
|
|
x2 = x1 − |
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|||
f 0(x1) |
|
|||||
Продолжая этот процесс, получаем последовательность значений |
xn |
|||||
xn+1 = xn − |
f(xn) |
, n = 0, 1, 2, ... |
|
|||
f 0(xn) |
|
|
||||
Она дает координаты точек, в которых построенные нами касательные пересекают ось абсцисс. Можно доказать, что при определенных условиях эта последовательность
сходится к искомому корню x уравнения f(x) = 0.
Анимация
Замечания.
1.Процедура построения последовательности значений xn называется итерацион- ным процессом.
2.Легко видеть, что реализация итерационного процесса не всегда приводит к успеху. Так, скажем, в случае, когда на какой-либо итерации окажется, что произ-
водная f 0(xn) = 0, мы не сумеем найти xn+1. Существуют теоремы, дающие
условия, при которых сходимость итераций имеет место, и условия, при которых ее нет, но мы эти теоремы рассматривать не будем.
Приложения производной |
143 |
3.Чтобы начать вычисления корня уравнения f(x) = 0 методом Ньютона, нужно иметь некоторое начальное приближение x0 для искомого корня x . Какаялибо строгая теория, позволяющая найти x0, отсутствует. На практике обычно такое начальное приближение x0 может быть найдено графически. Для этого
достаточно построить график функции y = f(x) и найти на нем точку, в которой
график пересекает ось абсцисс. Затем найденное начальное приближение можно уточнить с помощью метода Ньютона.
4.На практике обычно уже после 5 6 итераций по методу Ньютона получаются значения xn, достаточно близкие к корню. Признаком того, что это уже про-
изошло, служит малость разницы между значениями |
xn, полученными на двух |
последовательных итерациях, т. е. малость величины |
|xn+1 − xn|. Â ýòîì ñëó- |
чае итерационный процесс прекращают и принимают за приближенное значение искомого корня величину xn+1. Верным признаком того, что нас, вероятно, постигнет неудача, служит возрастание величины |xn+1 − xn|. В этом случае рекомендуется попытаться найти более точное начальное приближение x0.
5.Если уравнение f(x) = 0 имеет несколько корней, то для каждого из них метод Ньютона применяется отдельно.
Рассмотрим чисто учебный пример, демонстрирующий технику применения метода Ньютона на практике.
Пример 7.6.1
Требуется вычислить положительный корень уравнения x2 − 5 = 0 методом
касательных. Коíечно же, совершенно очевидно, что искомым корнем является
√
значение x = 5, но мы в учебных целях найдем приближенное значение этого корня методом Ньютона.
Производная функции f(x) = x2 − 5 равна f 0(x) = 2x. Поэтому для итерационного процесса мы должны использовать формулу
x |
|
= x |
|
f(xn) |
|
= x |
|
xn2 − 5 |
, n = 0, 1, 2, ... |
n+1 |
n − f 0(xn) |
n − |
|
||||||
|
|
|
2xn |
||||||
В качестве начального приближения выберем метода Ньютона получаем
x0 = 3. Тогда на первом шаге
x1 = 3 − |
4 |
= 2 |
1 |
≈ 2, 333. |
|
|
|
|
|||
2 · 3 |
3 |
||||