Непрерывность функции |
70 |
1
Рис. 5.3.3. Функция y = f(x) = 3 − x в точке x0 = 3 имеет разрыв второго рода.
5.4. Свойства непрерывных функций
Теорема 5.4.1 (об арифметических операциях с непрерывными функциями).
Пусть функции f1(x) è f2(x) непрерывны в точке x0. Тогда в этой точке непрерывны также сумма f1(x)+f2(x), разность f1(x)−f2(x), произведение f1(x)f2(x) и отношение f1(x)/f2(x) (åñëè f2(x0) 6= 0) этих функций.
Доказательство.
Доказательство данной теоремы следует непосредственно из соответствующих свойств пределов (ñì. ï. 4.5, ñòð. 39).
Так, например, обозначив через ных функций, получаем
f(x) = f1(x)f2(x) произведение двух непрерыв-
lim f(x) = lim f1 |
(x)f2 |
(x) = lim f1 |
(x) lim f2(x) = f1(x0)f2(x0) = f(x0). |
|
x→x0 |
x→x0 |
|
x→x0 |
x→x0 |
Ïî определению 5.2.2 (см. стр. 66) отсюда следует непрерывность функции f(x).
Теорема доказана.
Непрерывность функции |
71 |
Êкатегории основных элементарных функций обычно относят следующие функции.
•Степенная функция y = xa.
•Показательная функция y = ax.
•Логарифмическая функция y = loga x.
• Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.
• Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x,
y = arcctg x.
Не составляет труда доказать, что все эти функции непрерывны всюду, где они определены.
Ограничимся доказательством непрерывности функции y = sin x, предоставив читате-
лям возможность провести аналогичные доказательства для остальных элементарных функций в качестве нетрудного упражнения.
Обозначим через f(x) = sin x. Приращение этой функции 4f |
|
в точке x0 находится |
||||||||||||||||||||||||
по формуле |
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
− |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Отсюда получаем |
f = sin (x |
|
+ |
|
x) |
|
sin x |
|
= 2 cos |
|
x |
|
+ |
4x |
sin |
4x |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x→0 |
4 |
|
4x→0 |
|
|
|
0 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
0 |
· |
|
|
|
||||||
lim |
|
f = |
lim 2 cos |
x |
|
+ |
4x |
sin |
|
4x |
= 2 cos x |
|
|
0 = 0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ïî определению 5.2.1 (см. стр. 65) отсюда следует непрерывность функции f(x) = sin x в произвольной точке x0 R.
5.5. Рекомендации
Студентам, испытывающим серьезные трудности при изучении курса высшей математики, рекомендуется в первую очередь разобрать следующие вопросы.
1.Дать два определения непрерывности функции в точке.
2.Какие бывают точки разрыва у функции?
Непрерывность функции |
72 |
5.6. Вопросы для самоконтроля
1.Дать два определения непрерывности функции в точке и доказать их эквивалентность.
2.Какие бывают точки разрыва у функции?
3.Сформулировать и доказать теорему об арифметических операциях с непрерывными функциями.
4.Доказать непрерывность функции y = ex.
5.Доказать непрерывность функции y = ax.
6.Доказать непрерывность функции y = xa.
7.Доказать непрерывность функции
8.Доказать непрерывность функции
9.Доказать непрерывность функции
10.Доказать непрерывность функции
11.Доказать непрерывность функции
12.Доказать непрерывность функции
y= ln x.
y= loga x.
y= sin x.
y= cos x.
y= tg x.
y= ctg x.