Хорошо видно, что при переходе через каждую из двух критических точек производная меняет знак. Применяя первое достаточное условие экстремума (теорему 7.2.2), заключаем, что рассматриваемая функция достигает своего максимума

ïðè x = 0, а минимума при x = 8. В точках экстремума fmax = f(0) = 0

4 è fmin = f(8) = −3.

7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

В общем случае для непрерывной функции справедливы следующие утверждения.

1. Если непрерывная функция y = f(x) задана на замкнутом промежутке [a, b],

то она обязательно достигает как своего наименьшего, так и своего наибольшего значений, причем происходит это либо в точке экстремума, либо на конце промежутка.

2. Если же функция задана на открытом промежутке (a, b), то она может достигать, а может и не достигать своего наименьшего и своего наибольшего значений.

Чтобы прояснить суть рассматриваемой проблемы, решим несколько простых примеров.

Пример 7.3.1.

Пусть функция f(x) = 2x задана на замкнутом промежутке [1, 3]. Эта функция

является возрастающей, т. к. ее производная f 0(x) = 2 положительна. Поэтому

f(1) 6 f(x) 6 f(3), значит, данная функция достигает своего наименьшего зна-

чения на левом конце промежутка [1, 3], а наибольшего на его правом конце,

ò. å. fíàèì = f(1) = 2, à fíàèá = f(3) = 6.

Пример 7.3.2.

Ситуация кардинально меняется, если функция f(x) = 2x задана на открытом

промежутке (1, 3). В этом случае для любого значения x (1, 3) выполняется

неравенство 2 < f(x) < 6, а значит, ни наименьшего, ни наибольшего значений

данная функция на открытом промежутке (1, 3) достичь не может. Ее значения

подходят сколь угодно близко к числу 2, когда аргумент x приближается к ле-

вому концу промежутка (1, 3), но достичь этого числа они не могут. Точно такая же ситуация имеет место и на правом конце данного промежутка.

Пример 7.3.3.

Пусть функция f(x) = x2 задана на замкнутом промежутке [−1, 1]. Легко убедиться, что она достигает своего наименьшего значения в точке минимума: fíàèì = f(0) = 0. А вот своего наибольшего значения она достигает на обоих

концах отрезка: fíàèá = f(−1) = f(1) = 1.

Пример 7.3.4.

Если же функция f(x) = x2 задана на открытом промежутке (−1, 1), то своего

наименьшего значения она достигает в точке минимума: fíàèì = f(0) = 0, но своего наибольшего значения она достичь не может.

Пример 7.3.5.

наибольшего значений на этом промежутке данная функция не достигает. Значе- ния f(x) стремятся к 2, когда x приближается к правому концу промежутка

(0, 1), но никогда не достигают этого значения. Если же x приближается к левому концу промежутка (0, 1), то значения функции неограниченно растут.

На практике для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y = f(x) на замкнутом промежутке [a, b] удобно придерживаться следующего

алгоритма, основанного на том, что мы просто перебираем все значения аргумента, в которых функция может достигать своего наибольшего и своего наименьшего значе- ний.

1.Ищем все критические точки функции y = f(x), т. е. те значения ее аргумен-

та, в которых производная данной функции f 0(x) обращается в ноль или не существует.

2.Среди найденных критических точек отбираем только те, которые принадлежат промежутку [a, b]. Остальные критические точки отбрасываем.

3.Находим значения функции f(x) во всех отобранных точках, а также ее значения

f(a) è f(b) на концах отрезка. Самое большое и самое маленькое из найденных чисел и являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями данной функции на промежутке [a, b].

Пример 7.3.6.

Пусть f(x) = 3x4 + 4x3 + 1. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения

этой непрерывной функции на отрезке Сначала ищем критические точки

данной функции. Для этого найдем ее производную f 0(x) = 12x3 + 12x2. Она обращается в ноль в точках x1 = 0 è x2 = −1. Обе критические точки при-

надлежат отрезку [−2, 1]. Функции в этих точках имеет следующие значения:

f(0) = 1, f(−1) = 0. Найдем значения функции на концах отрезка: f(−2) = 17, f(1) = 8. Выбирая из этих чисел самое большое и самое маленькое, получаем

fíàèá = f(−2) = 17, fíàèì = f(−1) = 0.

Пример 7.3.7.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции

√

x x f(x) = 8 − 3√x

на интервале (10, 18). Эта функция не определена при x < 0 и имеет разрыв

Рассматриваемая функция на данном интервале имеет одну критическую точку x = 16, в которой f 0(x) = 0. При переходе через эту точку f 0(x) меняет знак с

плюса на минус, значит, при x = 16 рассматриваемая функция имеет локальный максимум, который и является ее наибольшим значением fíàèá = fmax = f(16) =

−16 на интервале (10, 18). Своего наименьшего значения на интервале (10, 18) эта функция не достигает, поскольку данный промежуток является открытым.

7.4. График функции

Умение строить графики функций, заданных аналитически, является весьма востребованным не только в учебном процессе, но и во многих сферах профессиональной деятельности тех, кто занимается научной или инженерной работой. Построение эскиза графика какой-либо функции нередко позволяет выявить те или иные особенности ее поведения, которые трудно, а иногда и невозможно, обнаружить, изучая лишь формулу, задающую данную функцию в аналитическом виде.

При рисовании эскиза графика функции соблюдать масштабы не требуется. Нужно лишь, чтобы рисунок правильно отражал все характерные особенности поведения функции.

В простейших случаях для того, чтобы нарисовать график функции, не требуется проводить полное исследование ее поведения. Такая ситуация возникает, когда рассматриваемая функция получается с помощью простейших преобразований каких-либо функций, графики которых уже известны, например, элементарных функций. Перечислим простейшие из таких преобразований.

1.График функции y = f(x)+a получается из графика функции y = f(x) сдвигом (параллельным переносом) на |a| единиц вдоль оси ординат. Если a > 0, то график сдвигается вверх, а если a < 0, òî âíèç.

2.График функции y = f(x+b) получается из графика функции y = f(x) сдвигом

5.График функции y = −f(x) получается из графика функции y = f(x) зеркальным отражением относительно оси абсцисс.

6.График функции y = f(−x) получается из графика функции y = f(x) зеркальным отражением относительно оси ординат.

вдоль оси ординат на 2 единицы вниз. Чтобы получить из него график функции y = |x2 − 8x + 14| , нужно отразить относительно оси абсцисс те его части, которые лежат ниже этой оси.

Рис. 7.4.2. Графики функций y = x2 − 8x + 14 (слева) и y = |x2 − 8x + 14| (справа).

В более сложных случаях для построения графика функции y = f(x) приходится про-

водить ее исследование. Порядок выполнения пунктов такого исследования не слишком важен, но обычно мы рекомендуем проводить его в следующей последовательности.

1.Найти область определения функции.

2.Найти точки пересечения графика с осями координат.

3.Найти интервалы знакопостоянства функции промежутки оси абсцисс, на ко-

торых f(x) > 0, и промежутки, на которых f(x) < 0.

4.Установить наличие симметрии графика относительно оси ординат (она имеется у четной функции) и относительно начала координат (она есть у нечетной функции). Проверить наличие периодичности.

5.Найти интервалы монотонности функции промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

6.Найти экстремумы функции и определить их вид.

7.Исследовать поведение функции в окрестности граничных точек области определения.

8.Найти асимптоты функции.

9.Построить график функции.

Во многих случаях для построения графика не требуется проводить полное исследование функции, вполне достаточно ограничиться отдельными его пунктами. Отметим также, что некоторые пункты данного исследования может быть довольно трудно (а иногда и невозможно) реализовать на практике. Так, скажем, отыскание точки пере-

сечения графика функции y = f(x) с осью ординат представляет собой очень простую

задачу: нужно взять x = 0 (если, разумеется, область определения функции содер-

жит ноль) и найти f(0). А вот для отыскания точек пересечения с осью абсцисс нужно

решить уравнение f(x) = 0, что не всегда возможно.

Мы впервые столкнулись здесь с термином "асимптота". Поясним его смысл.

Определение 7.4.1.

Асимптотой кривой y = f(x) называется прямая, к которой неограничен-

но приближается (подходит сколь угодно близко) точка кривой при ее удалении

вдоль кривой в бесконечность.

Замечание.

Асимптоты играют важную роль не только в математическом анализе, но и в различных прикладных научных исследованиях. Тот факт, что кривая, отражающая определенные закономерности в той или иной предметной области, при определенных условиях подходит сколь угодно близко к некоторой прямой, обычно заставляет исследователя задуматься о причинах этого явления. Нередко это свидетельствует об обнаружении нового научного факта, а иногда даже служит толч- ком, приводящим к открытию.

Асимптоты подразделяются на вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальная асимптота кривой y = f(x) существует, если хотя бы одно из предель-

личина. В первом случае кривая приближается к асимптоте справа, во втором слева. Примером такой функции может служить гипербола y = 1/x, вертикальной асимпто-

той которой является ось ординат. Это типичная ситуация: вертикальные асимптоты нередко обнаруживаются, если рассмотреть значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль. Заметим, что кривая, вообще говоря, может иметь

В точке x = 1 функция претерпевает разрыв второго рода, поскольку

уходит на −∞, а когда справа другая ветвь уходит на +∞.

8.Найдем асимптоты графика функции.

а) Вертикальной асимптотой является прямая, проходящая через точку x = 1, поскольку

б) Горизонтальных асимптот нет, поскольку функция не стремится к конечному пределу при x → ±∞.

Следовательно, единственной наклонной асимптотой является прямая y = x + 1,

причем ветви графика неограниченно приближаются к этой прямой при x → −∞

è ïðè x → +∞.

9.Учитывая результаты выполненного нами полного исследования функции, строим ее график. Он изображен на рис. 7.4.4.