По условию теоремы lim f(x) = A. Применяя определение предела 4.1.2, заклю-

x→a

÷àåì, ÷òî äëÿ âñåõ x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x−a| < δ, выполняется неравенство |f (x) − A| < ε, ãäå ε > 0 любое положительное число.

Используя свойства модуля (ñì. ï. 2.5, стр. 18), получаем тогда, что для рассматриваемой функции выполняется двойное неравенство A − ε < f(x) < A + ε,

которое и доказывает ее ограниченность для всех x, удовлетворяющих неравен-

ñòâó 0 < |x − a| < δ.

Теорема доказана.

Замечание.

В самой точке a функция f(x) может быть и не определена. Тогда она ограни-

÷åíà ïðè x 6= a и близких к a.

4.12. Рекомендации

Студентам, испытывающим серьезные трудности при изучении курса высшей математики, рекомендуется в первую очередь разобрать следующие вопросы.

1.Дать упрощенное определение предела функции.

2.Дать определение бесконечно малой величины.

3.Сформулировать основные свойства бесконечно малых величин.

4.Сформулировать основные свойства пределов.

5.Выписать первый замечательный предел.

4.13. Вопросы для самоконтроля

1.Дать определение предела функции.

2.Сформулировать обобщения этого определения.

Мы рекомендуем студентам следующие примеры решить самостоятельно.